为什么 D'Esopo-Pape 算法具有指数时间复杂度的最坏情况？

Question

D'Escopo-Pape 算法在实现上与 Dijkstra 算法非常相似，适用于负权重边缘，但不适用于负循环。在大多数情况下，它显然比 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法更快。但是显然存在这种算法需要指数时间的特殊情况，有人可以提供一些示例或指向我一些更彻底地分析该算法的材料。
这是实现：

struct Edge {
    int to, w;
};

int n;
vector<vector<Edge>> adj;

const int INF = 1e9;

void shortest_paths(int v0, vector<int>& d, vector<int>& p) {
    d.assign(n, INF);
    d[v0] = 0;
    vector<int> m(n, 2);
    deque<int> q;
    q.push_back(v0);
    p.assign(n, -1);

    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop_front();
        m[u] = 0;
        for (Edge e : adj[u]) {
            if (d[e.to] > d[u] + e.w) {
                d[e.to] = d[u] + e.w;
                p[e.to] = u;
                if (m[e.to] == 2) {
                    m[e.to] = 1;
                    q.push_back(e.to);
                } else if (m[e.to] == 0) {
                    m[e.to] = 1;
                    q.push_front(e.to);
                }
            }
        }
    }
}

这是我使用的网站的链接：D'Esopo-Pape
就特殊情况和时间复杂性而言，这并没有真正深入。

Answer 1

指数时间

这不是一个完整的证明，如果需要，您可以阅读“关于寻找最短路径树的说明”（Aaron Kershenbaum，1981，https://doi.org/10.1002/net.3230110410）。您可能会发现另一个有趣的来源是“确定最短路径树的标记方法的属性”。

这个算法会出错的直观原因是，如果找到指向它的边，则将集合 M0 中的一个节点再次从中拉出，以便稍后重新检查。这听起来已经是二次的，因为可能有 |V|-1 边缘指向它，所以每个节点都可能被“复活”很多次，但更糟糕的是：这种效果是自我放大的，因为每次一个节点在这样，从该节点传出的边可以导致更多的复活，等等。在完整的证明中，必须注意边缘权重，以确保足够的“复活”可以实际上发生，因为它们是有条件的，因此 [Kershenbaum 1981] 提出了一种构建方法Pape 算法需要指数级步骤的实际示例。

顺便说一句，作者在同一篇论文中说：

我已使用此算法在具有各种长度函数（通常与距离相关）的非常大、非常稀疏的实际网络（数千个节点和 2 到 3 之间的平均节点度）中查找路线，并发现它的性能优于所有其他人。

（但由于没有人使用此算法，因此可用的基准测试并不多，除了 this one，Pape 的算法在其中 没有 比较好）

相比之下，触发指数行为需要结合高度、邻接列表中特定的边顺序以及不寻常的边权重。提到了一些缓解措施，例如在运行算法之前按权重对邻接列表进行排序。

为什么很少使用

我在这方面找不到任何真正的来源，也不要指望它存在，毕竟你不必为不使用一些具有奇怪属性的不寻常算法进行辩护。有指数最坏情况（尽管仔细观察，它似乎不太可能是偶然触发的，而且无论如何 Simplex 算法有指数最坏情况，并且它被使用了 lot），它是相对未知的，并且唯一可用的实际基准对算法“通常有效”的说法提出了质疑（尽管我会注意到他们使用了 4 的度数，这似乎仍然很低，但它绝对高于“介于 2 和 3 之间”用于声称该算法是有效的）。此外，不应期望 Pape 的算法在一般密集图上​​表现良好，即使没有触发指数行为。