查找覆盖在 3D 高度图上的圆的一组点

Question

我有一个 NxN 值的高度图。

我想找到，给定一个点 A（红点），它的 x 和 y 坐标是给定的（并且 z 从数据中已知，所以 A 是表面的一个顶点）一组位于在圆心在 A 和半径 R 的圆周上，这是一个很好的近似圆形“布”（灰色）覆盖在由数据点描述的假想表面上。

采样，即我试图找到的点集之间的倒数距离，不需要是统一的，但我仍然希望至少找到所有与边缘相交的点与距 A 距离为 R 的圆啮合。

如何找到这组点？

这是一个已知问题吗？

_{（来源：keplero.com）}

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Jan 使用的假设是正确的：样本形成与 [0,0] 对齐的规则矩形或正方形网格（在 X-Y 平面中）。但我想考虑 Z 方向的位移来计算距离。您可以将高度图视为地形，并将我正在寻找的算法视为向探险者提供的指令，该指令仅在给定纬度或经度的路径上行驶，标记距离 A 为 R 的点。步行距离，这是考虑到到目前为止所做的所有 Z 位移。探险者也在山谷中攀爬和下降。

这个简单的算法是这样的。我们知道给定 R，x 和 y 轴上的最大位移对应于完全平坦的表面。如果没有斜率，x,y 点都在边界正方形 Ax-R

此时，它将开始向靠近的单元格移动，因为如果周界进入网格的一个单元格的边缘，它也必须退出该单元格。

Answer 1

我认为这将很难以精确的方式解决，因此我建议尝试直接的方法来模拟探索者在地表上的路径。

给定您的起点A 和行进距离d，计算XY 平面上从A 到d 的点P 的圆。

对于P 中的每个点p，将线段A-p 与您的网格相交，这样您就可以得到一系列点，在这些点上，探索者从一个网格正方形穿过另一个网格正方形，在如果探险者从A 出发，就会发生这种情况。然后应该通过从您的网格数据中插值来为这些点提供 z 坐标。 因此，您可以通过此点序列前进并跟踪到目前为止的行进距离。最终将达到目标距离 - 将 p 调整到该点。

P 现在包含您要查找的周长。根据需要调整样本保真度（P 的大小）。

Answer 2

澄清一下 - 您在 3d 中有一个三角曲面，对于网格中给定的起始顶点 Vi，您希望找到一组顶点 U，这些顶点可通过沿曲面的路径（即测地线）到达) 长度为Li <= R。

一种方法是将其转换为基于图形的问题：

1. 形成加权无向图G(V,E)，其中V 是三角曲面网格中的顶点集，E 是该网格中的边集。边权重应该是每条边的欧几里得（3d）长度。此图是离散距离图 - 网格中每个相邻顶点之间“沿表面”的距离。
2. 从起始顶点Vi 运行Dijkstra's 算法的变体，仅扩展满足约束Li <= R 的长度为Li 的路径。访问U 的顶点集将是可以通过Li <= R 的最短（测地线）路径到达的顶点。

这种方法的精度应该与表面网格的分辨率有关——只要每个单元内的表面曲率不太高，欧几里得边长应该是实际测地距离的良好近似值，如果不是，表面网格应在该区域进行细化。

希望这会有所帮助。