如何以 E=0.0001 的精度计算序列 e^(-x) 的总和？答案

【问题标题】：How to calculate a sum of sequence e^(-x) with accuracy E=0.0001?如何以 E=0.0001 的精度计算序列 e^(-x) 的总和？
【发布时间】：2015-03-26 20:27:27
【问题描述】：

所以我可以计算一个没有精度E的序列和。

    int t=1, x, k;
    float sum, a, result, factorial=1, E=0.0001;
    for(k=0;k<=(n);k++){
                while(t<=n){
                        factorial*=t;
                        t++;
                }
                sum=(pow(-x,k))/factorial;
                sum+=sum;
                //while(fabs(sum-???)<E){
                //        result=sum;
                //}
    }

所以我知道序列的总和 sum(k)。但是要准确计算E，我必须知道之前元素的总和sum(k-1)。如何从 for 循环 中得到 sum(k-1)？对不起英语。

【问题讨论】：

标签： c++ c loops sequence precision

【解决方案1】：

这是 e ^ (-x) 的泰勒级数吗？如果是这样，你写错了。我不认为你所拥有的会收敛。

http://www.efunda.com/math/taylor_series/exponential.cfm

e ^ (-x) 是 1 + (-x) + (-x)^2/2！ + (-x)^3/3！ + ...

double calculate_power_of_e(double xx, double accuracy) {
    double sum(1.0);
    double term(1.0);
    for (long kk=1; true; ++kk) {
        term *= (-xx) / kk;
        sum += term;
        if (fabs(term) < accuracy)
            break;
    }

    return sum;
}

printf("e^(-x)" = %.4f\n", calculate_power_of_e(5.0, .0001));

【讨论】：

哎呀。忘记更新 psum。只需在循环底部放一个 psum = sum。
既然你有sum += term，你只需要检查fabs(term) < accuracy。这使您可以摆脱第二个if (0 < kk)。如果你在1 开始kk 和sum，那么你也不需要先if (0 < kk)。我为您修复了它，如果需要，请随时回滚编辑。
看起来不错，谢谢。泰勒级数收敛缓慢。

【解决方案2】：

首先说明您应用的幂公式：根据wikipedia，您应该添加术语pow(-x,k)/(k!) 而不是pow(-x,k)/(n!)。

这会导致您的代码进行小幅优化：作为k! = k * (k-1)!，我们可以避免内部while 循环和大量无用的乘法。

顺便说一句，你构建总和的方式也有一个错误：你总是删除以前的结果，然后第二次添加当前项。

一旦这个问题得到纠正，你只需要处理一个额外的变量：

double myexpo(double x, int n=100) {
    int k;
    double sum = 1.0, pvsum, factorial = 1.0, E = 0.0001;
    for (k = 1; k <= (n); k++){  // start with 1
        pvsum = sum;
        factorial *= k;            // don't calculate factorial for 0. 
        sum += (pow(-x, k)) / factorial;

        if (k > 1 && fabs(sum - pvsum) < E) {  // check if diff is small enough
            cout << k << " iterations" << endl; 
            break;     // interupt the for loop if it's precise enough
        }
    }
    return sum;   // at the end of the loop sum is the best approximation
}

你可以用这个来测试这个功能：

double x; 
do {
    cout << "Enter number: ";
    cin >> x;
    cout << myexpo(x) << endl; 
    cout << exp(-x) << endl; 
} while (x > 0);

备注：我建议使用 double 或使用 f 后缀作为浮点数（例如 0.001f），即使它按原样工作。

【讨论】：

【解决方案3】：

检查项的绝对值何时小于您所需的准确度。

double sum = 0, x = 1, k = 0, E = 0.0001, fact = 1;
while(true){
    double term = pow(-x, k) / fact;
    if(fabs(term) < E)
        break;
    sum += term;
    fact *= (++k);
}
printf("e^(-x) = %.4f", sum);

【讨论】：

【解决方案4】：

当术语与 1.0 相比微不足道时，停止循环。

通过使用递归，|x|不太大，最小的项先求和。

e(x) = 1 + x/1! + x*x/2! + x*x*x/3! + ...

double my_exp_term(double x, double term, unsigned n) {
  if (term + 1.0 == 1.0) return term;
  n++;
  return term + my_exp_term(x, term*x/n, n);
}

double my_exp(double x) {
  return 1.0 + my_exp_term(x, x, 1);
}

double y = my_exp(-1);

Exponential function

【讨论】：