我无法找到有关此主题的任何有用信息。基本上我想找到四元数旋转的分量，即围绕给定轴（不一定是 X、Y 或 Z - 任何任意单位向量）。有点像将四元数投影到向量上。因此，如果我要要求围绕与四元数轴平行的某个轴进行旋转，我会得到相同的四元数。如果我要要求绕与四元数轴正交的轴旋转，我会得到一个恒等四元数。介于两者之间......嗯，这就是我想知道如何解决的问题:)
【问题讨论】：
标签： rotation quaternions
这个问题有一个优雅的解决方案，特别适用于四元数。它被称为“摆动扭曲分解”：
伪代码
/**
Decompose the rotation on to 2 parts.
1. Twist - rotation around the "direction" vector
2. Swing - rotation around axis that is perpendicular to "direction" vector
The rotation can be composed back by
rotation = swing * twist
has singularity in case of swing_rotation close to 180 degrees rotation.
if the input quaternion is of non-unit length, the outputs are non-unit as well
otherwise, outputs are both unit
*/
inline void swing_twist_decomposition( const xxquaternion& rotation,
const vector3& direction,
xxquaternion& swing,
xxquaternion& twist)
{
vector3 ra( rotation.x, rotation.y, rotation.z ); // rotation axis
vector3 p = projection( ra, direction ); // return projection v1 on to v2 (parallel component)
twist.set( p.x, p.y, p.z, rotation.w );
twist.normalize();
swing = rotation * twist.conjugated();
}
并且可以在此处找到此代码的详细答案和推导 http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/for/decomposition/
【讨论】：
ra和p的点积是负数，那么你应该否定twist的所有四个分量，这样生成的旋转轴指向与direction 相同的方向。否则，如果您尝试测量旋转角度（忽略轴），您将混淆旋转及其倒数的混合，这取决于在projection(ra, direction) 期间旋转轴方向是否翻转。请注意，projection(ra, direction) 计算的是点积，因此您应该重复使用它而不是计算两次。
前几天我试图为动画编辑器找到完全相同的东西；这是我的做法：
这个投影向量和原始正交的点积的acos就是你的角度。
public static float FindQuaternionTwist(Quaternion q, Vector3 axis)
{
axis.Normalize();
// Get the plane the axis is a normal of
Vector3 orthonormal1, orthonormal2;
ExMath.FindOrthonormals(axis, out orthonormal1, out orthonormal2);
Vector3 transformed = Vector3.Transform(orthonormal1, q);
// Project transformed vector onto plane
Vector3 flattened = transformed - (Vector3.Dot(transformed, axis) * axis);
flattened.Normalize();
// Get angle between original vector and projected transform to get angle around normal
float a = (float)Math.Acos((double)Vector3.Dot(orthonormal1, flattened));
return a;
}
这里是找到正交的代码，但是如果你只想要上述方法的一个，你可能会做得更好：
private static Matrix OrthoX = Matrix.CreateRotationX(MathHelper.ToRadians(90));
private static Matrix OrthoY = Matrix.CreateRotationY(MathHelper.ToRadians(90));
public static void FindOrthonormals(Vector3 normal, out Vector3 orthonormal1, out Vector3 orthonormal2)
{
Vector3 w = Vector3.Transform(normal, OrthoX);
float dot = Vector3.Dot(normal, w);
if (Math.Abs(dot) > 0.6)
{
w = Vector3.Transform(normal, OrthoY);
}
w.Normalize();
orthonormal1 = Vector3.Cross(normal, w);
orthonormal1.Normalize();
orthonormal2 = Vector3.Cross(normal, orthonormal1);
orthonormal2.Normalize();
}
虽然上述方法有效，但您可能会发现它的行为与您预期的不同。 例如，如果您的四元数将矢量旋转 90 度。大约 X 和 90 度。围绕 Y 你会发现，如果你分解围绕 Z 的旋转，它将是 90 度。也是。如果您想象一个矢量进行这些旋转，那么这非常有意义，但取决于您的应用程序，它可能不是所需的行为。 对于我的应用程序——约束骨骼关节——我最终得到了一个混合系统。矩阵/四元组自始至终都使用，但当涉及到约束关节的方法时，我在内部使用欧拉角，每次将旋转四元组分解为围绕 X、Y、Z 的旋转。
祝你好运，希望对你有所帮助。
【讨论】：
-PI/4（或7*PI/4）的旋转，我会得到PI/4。我在这里错过了什么吗？
minorlogic 指出摆动扭曲分解的答案是迄今为止最好的答案，但它缺少重要的一步。问题（使用 Minorlogic 的伪代码符号）是，如果 ra 和 p 的点积为负，则需要将 twist 的所有四个分量取反，以便生成的旋转轴指向与direction。否则，如果您尝试测量旋转角度（忽略轴），您将混淆正确旋转和正确旋转的 reverse 的混合，具体取决于旋转轴是否调用projection(ra, direction) 时方向发生了翻转。请注意，projection(ra, direction) 计算的是点积，因此您应该重复使用它而不是计算两次。
这是我自己的摆动扭曲投影版本（在某些情况下使用不同的变量名称而不是 Minorlogic 的变量名称），并进行了点积校正。代码用于 JOML JDK 库，例如v.mul(a, new Vector3d()) 计算 a * v，并将其存储在一个新的向量中，然后返回。
/**
* Use the swing-twist decomposition to get the component of a rotation
* around the given axis.
*
* N.B. assumes direction is normalized (to save work in calculating projection).
*
* @param rotation The rotation.
* @param direction The axis.
* @return The component of rotation about the axis.
*/
private static Quaterniond getRotationComponentAboutAxis(
Quaterniond rotation, Vector3d direction) {
Vector3d rotationAxis = new Vector3d(rotation.x, rotation.y, rotation.z);
double dotProd = direction.dot(rotationAxis);
// Shortcut calculation of `projection` requires `direction` to be normalized
Vector3d projection = direction.mul(dotProd, new Vector3d());
Quaterniond twist = new Quaterniond(
projection.x, projection.y, projection.z, rotation.w).normalize();
if (dotProd < 0.0) {
// Ensure `twist` points towards `direction`
twist.x = -twist.x;
twist.y = -twist.y;
twist.z = -twist.z;
twist.w = -twist.w;
// Rotation angle `twist.angle()` is now reliable
}
return twist;
}
【讨论】：
Unity3d 代码
// We have some given data
Quaternion rotation = ...;
Vector3 directionAxis = ...;
// Transform quaternion to angle-axis form
rotation.ToAngleAxis(out float angle, out Vector3 rotationAxis);
// Projection magnitude is what we found - a component of a quaternion rotation around an axis to some direction axis
float proj = Vector3.Project(rotationAxis.normalized, directionAxis.normalized).magnitude;
【讨论】：
我尝试实现了sebf的回答，看起来不错，除了步骤1中vector的选择：
- 选择要绕其旋转的轴，然后找到 正交向量。
不足以获得可重复的结果。我已经在纸上开发了这个，我建议采取以下措施来选择与“你想要找到旋转的轴”正交的向量，即观察轴。有一个垂直于观察轴的平面。您必须将四元数的旋转轴投影到该平面上。使用这个结果向量作为与观察轴正交的向量会得到很好的结果。
感谢 sebf 让我走上正确的道路。
【讨论】：