多维网格的逆插值

Question

我正在从事一个插入样本数据{(x_i,y_i)} 的项目，其中x_i 的输入域位于 4D 空间中，而输出 y_i 位于 3D 空间中。我需要为两个方向生成两个查找表。我设法生成了4D -> 3D 表。但是3D -> 4D 是一个棘手的问题。样本数据不在规则的网格点上，也不是一对一的映射。有没有已知的方法来治疗这种情况？我在网上做了一些搜索，但我发现的只是3D -> 3D映射，不适合这种情况。谢谢！

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回答Spektre的问题：

X(3D) -> Y(4D)是1X -> nY的情况

我想为任何给定的X 生成一个表，我们可以找到Y 的值。样本数据没有占据X的所有域。但没关系，我们只需要样本数据域内的点的准确性。例如，我们有像{(x1,x2,x3) ->(y1,y2,y3,y4)} 这样的样本数据。有可能我们也有一个样本数据{(x1,x2,x3) -> (y1_1,y2_1,y3_1,y4_1)}。但没关系。我们需要一个用于空间X 中的任何(a,b,c) 的表，它对应于空间Y 中的一个(e,f,g,h)。可能有不止一种选择，但我们只需要一种。 （如果符号混淆，请见谅）

解决这个问题的一种可能方法：由于我已经从Y->X 建立了一个平滑映射，我可以使用牛顿法或任何其他方法来反向搜索点y 以获得任何给定的x。但它不够准确，而且耗时。因为我需要对表中的每个点进行搜索，误差是模型误差与搜索误差之和。

所以我想知道是否可以直接找到一个映射来插入样本数据，而不是在 3 中进行这种搜索。

Answer 1

1. 您正在寻找投影/映射

   正如您所提到的，您有投影X(3D) -> Y(4D)，这在您的情况下不是一对一的，那么(1 X -> n Y) 或(n X -> 1 Y) 或(n X -> m Y) 是什么情况？

2. 你想使用查找表

   我假设您只想为给定的Y 生成所有X

   • 所有有效积分
   • 或映射具有某种几何或数学对称性（例如X 和Yspace 中的点之间的距离相似，并且映射是连续的）

   您不能在通用映射点之间进行插值，所以问题是您想到的是哪种映射/投影？

3. 首先是 1->1 投影/映射插值

   1. 如果您的X->Y 投影映射适合插值

      那么对于3D->4D 使用三线性插值。找到最接近的8 点（每个点在其轴上形成网格超立方体）并在所有4 维度上进行插值

   2. 如果您的X<-Y 投影映射适合插值

      那么对于4D->3D 使用quatro-linear 插值。找到最接近的16 点（每个点在其轴上形成网格超立方体）并在所有3 维度上进行插值。

4. 现在 1->n 或 n->m 投影/映射呢

   这完全取决于我一无所知的投影/映射属性。尝试提供您的数据集示例并添加一些图像是最好的。

[edit1] 1 X

我仍然会使用 quatro-linear 插值。您仍然需要搜索 Y 表，但如果您将其分组为 4D 网格，那么它应该很容易。

1. 在Y-table 中找到与您的输入Y 点最近的16 点

   这些点应该是在所有轴的每个+/- 方向上最接近您的Y 的点。在 3D 中它看起来像这样：

   • 红点是你的输入Y点
   • 蓝点是找到的最近点（网格），它们不需要像图像上那样对称。

   请不要让我画4D 有意义的例子:)（至少对于清醒的头脑）

2. 插值

   找到对应的X点。如果每个点多于一个，则选择与其他点更接近的一个...现在您应该拥有16 X 点和16+1 Y 点。然后从Y 点开始，您只需计算输入Y 点沿线的距离。这些距离用作线性插值的参数。将它们规范化为<0,1> 其中

   • 0 表示“左”，1 表示“右”点
   • 0.5 表示正中

   您将需要在每个 Y-domain 维度中使用此标量距离。现在只需沿线性插值计算所有X 点，直到在X-domain 中得到相应的红点。

   使用 三线性 插值 (3D) 有 4+2+1=7 线性插值（如图所示）。对于 quatro-linear 插值 (4D)，有 8+4+2+1=15 线性插值。

3. 线性插值

   X = X0 + (X1-X0)*t
   

   • X 是插值点
   • X0,X1 是“左”、“右”点
   • t是距离参数<0,1>