多维插值

Question

给定一个多维空间（在我的例子中是 4D 空间）中的样本数据集，其中样本存在于 4D 立方体的所有角落，并且该立方体中有大量样本，但不是整齐的网格。每个样本在其 4D 坐标旁边都有一个输出值。立方体的坐标为 [0,0,0,0]..[1,1,1,1]。

给定一个新坐标 (4D)，我如何在给定这些样本的情况下得出最佳插值？例如，我如何选择开始的样本，如何进行插值。

作为第一个猜测，我猜这可以通过两步过程完成：

1. 在我们需要插值的坐标周围找到最小的凸五面体（4D 等效于 3D 四面体/2D 三角形）。

2. 在这个四面体内插值。

尤其是第 1 步似乎相当复杂和缓慢。

Answer 1

这是我尝试的第一种方法。

步骤 1

通过欧几里得距离查找该点的 4 个最近邻。重要的是这 4 个点是线性独立的，因为接下来它们用于创建重心坐标系。这 4 个点成为您的五边形（又名 4-单纯形）的顶点。

如果最近邻检查太慢，请尝试将您的数据结构化为在 4D 中工作的空间查找树。

第二步

现在我们需要将一个值与插值点 X 相关联。首先在这个新的重心坐标系中导出 X 的表示。此重心坐标由 4 个数字组成，它们共同描述了插值点与 4-单纯形中每个顶点之间的相对距离。

标准化重心坐标，使其分量总和为 1。

这 4 个单纯形顶点中的每一个都是数据点并具有输出值。将这 4 个输出值组合成一个向量。

最后，通过计算归一化坐标与输出值向量的点积进行插值。

来源：这个想法实际上只是 Wikipedia 上 Barycentric coordinate system page 中间的这个 gem 的 4D 扩展。