在Matlab中找到具有约束的变量的“可能”组合的算法？

Question

假设我在 A 中有 7 个项目，在 B 中有 4 个项目

A=[10;40;90;130;200;260;320]
B=[100;300;500;1000]

我想要可能的组合列表，其中：

• 必须包含 A 的所有子组件
• 可以添加 B 的子组件直到添加的所有子组件的 SUM 大于 2000

有人知道如何在 Matlab 中做到这一点吗？

我的尝试：

X=sum(A);
y=1;
for Y=1:((length(A))-1);
   X=X+B(y);
   if(X>2000)
       disp('Following is unacceptable')    
   end
   y=y+1
end

但是此代码不正确。它只是添加 B 的第一个元素，然后将其添加到第二个元素，依此类推。它没有为我提供可能的组合。

例子：

• sum(A) + B(1) = OK
• sum(A) + B(4) = 不行
• sum(A) + B(1) + B(2) = OK
• sum(A) + B(2) + B(3) = OK
• 等等……

如果将来 A 或 B 的值发生变化，我希望这可以自动化。我不确定这是否也是概率问题。

Answer 1

只需使用nchoosek 和双for-loop 即可遍历B 中所有可能的元素组合：

SA = sum(A);
for k = 1:numel(B)
    for idx = nchoosek(1:numel(B), k)'
        B_subset = B(idx);
        if (SA + sum(B_subset) <= 2000)
            disp([A(:)', B_subset(:)'])
        end
    end
end

这将打印总和小于（或等于）2000 的所有组合。对于您的示例，我们得到：

    10    40    90   130   200   260   320   100
    10    40    90   130   200   260   320   300
    10    40    90   130   200   260   320   500
    10    40    90   130   200   260   320   100   300
    10    40    90   130   200   260   320   100   500
    10    40    90   130   200   260   320   300   500
    10    40    90   130   200   260   320   100   300   500

解释：

内部for-loop：
内部的for-loop 使用nchoosek(1:numel(B), k)，它生成所有 k 长度的组合 1...length(B)（出于习惯，我使用numel 而不是length；在这种情况下它具有相同的效果）。例如，在我们的例子中，B 有 4 个元素，所以对于 k = 3，我们得到 nchoosek(1:4, 3)：

    1   2   3
    1   2   4
    1   3   4
    2   3   4

我们从中得到的是B 中元素索引的所有可能的 k 长度组合。在每次迭代中，这个for 循环将不同的索引组合分配给idx。我们如何将B 的索引转换为真实元素？我们只写B(idx)。
在循环内部测试组合：如果总 sum(A) + sum(B(idx)) 小于（或等于）2000，则显示该组合。

外层for-loop：
外部for-循环简单地遍历所有可能的组合长度（即，遍历k 的所有可能值）。

希望有帮助！

附注：

一些面向未来的 MATLAB 编程技巧：
1.变量名区分大小写。
2. 你不需要增加循环变量。 for 循环会自动为您执行此操作。

Answer 2

最好的方法会涉及一些递归，如下所示：

sumA=sum(A);
find_CombinationsOfB(B,sumA,[])

function ret=findCombinationsOfB(in_vals,total_sum,already_contained)

if total_sum>2000
    ret=false;
else
    for y=1:length(in_vals);
       if (~findCombinationsOfB(in_vals([1:(y-1);(y+1):length(in_vals)],total_sum+in_vals(y),[already_contained in_vals(y))
          display([already_contained in_vals])
       end
    end
    ret=true;
end

本质上，它的作用是尝试 B 的每个组合。它会打印任何不等于 2000 的组合，包括 A 的总和。

一步一步，它的作用如下：

1. 最初，传递 B 的完整数组以及 A 的总和。传递一个空数组以存储迄今为止已使用 B 的哪些元素。
2. 每个元素依次添加到函数中，并使用新的总和再次调用，并且数组中缺少一个值。
3. 如果数组总和在任何时候超过 2000，就会停止推理链。

如果您想了解更多关于它的工作原理，请在函数开头打印 in_vals、total_sum 和 already_contained，如下所示：

fprintf("in_vals=%s   total_sum=%i   already_contained=%s",mat2str(in_vals),total_sum,mat2str(already_contained));

它应该在每次迭代中向您展示正在发生的事情。

Answer 3

假设 B 不是很长（大约 10 个元素），对所有组合进行详尽搜索就可以了。您可以使用递归函数执行这种详尽的搜索，但下面的代码使用了一个在 MATLAB 中特别简洁的技巧：它通过将每个组合表示为二进制位字符串来扫描 B 元素的所有组合。

% examine each of 2^length(B) combinations
for i=0:2^length(B)-1
    % converts the binary string into an array of 0 and 1 used to select elements in B
    combo = dec2bin(i, length(B))-'0'; 
    % print the combination of elements if their sum is large
    if combo * B + sum(A) > 2000
       disp(find(combo));
    end
end

有 2^length(B) 种可能的组合。这将依次检查它们，将组合表示为长度为 length(B) 的二进制字符串，并评估这些元素的总和（位字符串和 B 之间的点积）。