我们如何找到算法的时间复杂度答案

【问题标题】：How can we find the Time Complexity of the Algorithm我们如何找到算法的时间复杂度
【发布时间】：2021-07-08 14:25:55
【问题描述】：

我想知道下面给定代码的时间复杂度，我怀疑它是根 n 的 O

i = n, sum = 0
while (i >= 0){
    i /= 2
    sum += i*i*i
}

我真的很困惑，谁能帮我解释一下

【问题讨论】：

标签： algorithm

【解决方案1】：

如果您不确定，您可以随时使用“时间”模块大致了解复杂性。它会是这样的。

进口时间

start = time.time() # 放在循环之前

end = time.time() #把这个放在循环之后

print(end - start) #this 为您提供循环的评估时间

找出不同 n 的评估时间并确定复杂度。

只是通过查看它，您的循环大约会执行 log2(n) 次，并且在内部您有 2 次乘法和 1 次除法（所以没什么复杂的）。因此，我认为 O(log(n)) 是一个合理的猜测。

【讨论】：

嗯，原则上是的。但是，在实践中，您不会想要测量无穷大（或非常弱收敛的实现所花费的时间）。语言的类型可能会提供不精确性，但对于一些新的想法可能会访问一些阿基里斯悖论的展示，它很好地展示了将数字减半到零的问题...... Achilles and the Tortoise 有一个链接到 a formulation from Zeno of Elea
我不同意这个答案。运行时间为 O(log n) 的函数的运行时图看起来或多或少像一个常数，因为 log n 增长如此缓慢。在这种特殊情况下，该函数是如此之短，以至于很难准确地测量它花费在计算上的时间，而且你大部分会留下一条平坦的线，那里有一堆噪音。虽然这是让自己相信函数的实际速度足够好的好方法，但还不足以确定实际增长率。span>
@templatetypedef 好吧，在这种情况下测试运行时没有用，这是一个好点。但我仍然是正确的，它是 O(log n)。

【解决方案2】：

正如 cmets 中提到的，我假设代码应该写成

i = n, sum = 0
while (i > 0) { // <--- Change >= to >
    i /= 2
    sum += i*i*i
}

否则代码将是一个无限循环。考虑到这一点，让我们看看这段代码在做什么。

对于初学者，请注意sum 变量没有做任何影响我们时间复杂度的事情。在每次迭代中，它都会变大，但我们只做 O(1) 的工作来更新它。这意味着这里的时间复杂度将取决于循环运行的次数。请注意，在循环的不同迭代中，i 的值将采用序列

n, n / 2, n / 4, n / 8, n / 16, n / 32, ...

特别是，在循环的第 k 次迭代中，i 的值将等于 n / 2^k（忽略向下舍入，我们可以在这里安全地执行此操作）。那么，问题是在循环的哪一次迭代中，我们以 n / 2^k

n / 2^k

n k

log₂ n

所以一旦循环迭代次数 k 大于 log₂ n，这个循环就会停止。这意味着我们做了 Θ(log n) 循环迭代，其中每次迭代做 O(1) 工作，所以完成的总工作是 Θ(log n)。

【讨论】：