是否有任何线性时间算法来查找有向图中不同闭合路径的数量？
一个伪代码解释就足够了。
【问题讨论】：
标签： algorithm performance graph directed-graph
在下文中，“循环”总是意味着“简单循环”——即一个顶点序列，其中每个相邻的顶点对由原始图 G 中的一条边连接，第一个和最后一个顶点相等，并且序列中的每个其他顶点最多出现一次。
经过一番研究，我发现了一个证明这个问题是 NP 难的——所以不仅没有人知道在线性时间内解决它的方法，也没有人知道在 多项式中解决它的方法时间。
我找到的证明在 p 上。 http://www.cs.umd.edu/~jkatz/complexity/f11/lecture23.pdf 中的 2 个，从 this answer on Quora 链接到。
我将在这里解释和扩展一点（我不明白他们为什么将“n^n”写成“2^(n log n)”）：
假设我们有一个有向图 G，我们想知道 G 是否包含哈密顿循环。如果我们有一个多项式时间来解决您的问题（计算有向图中的简单循环数），我们可以在多项式时间内解决这个已知的 NP-hard 问题，如下所示：
通过获取 G 中的每条边 (u, v) 并将其替换为创建从 u 到 v 的 n^n 条不同路径的“gadget”，从 G 构建一个新图 G'。这可以按如下方式完成：对于G 中的每条边 (u, v)，在 G' 中创建一个由 n^2 个新顶点组成的 n×n 网格，将 u 连接到第一行中的每个 n 个顶点，这 n 个顶点中的每一个连接到每个下一行中的 n 个顶点（对于 n^2 总第一行到第二行边），第二行中的每个顶点到第三行中的每个顶点，依此类推，直到第 n 个和最后一个排。将最后一行中的每个顶点连接到 v。我们可以通过这些顶点以 n^n 种不同的方式从 u 到 v：在 n 行中的每一行上，我们可以选择该行中的 n 个顶点中的任何一个来打开从 u 到 v 的路径。显然这个小工具有多项式大小（n^2 个顶点和 (n-1)n^2 + 2n 个边），我们最多需要 n^2 个副本（每个边一个G) 所以 G' 也是。我们将把这个构造的图 G' 提供给任何计算有向图中的有向环的算法，并使用答案来确定 G 是否具有哈密顿循环。
首先，假设 G 有一个哈密顿循环。那么这个循环，作为哈密顿量，有 n 条边，所以它在 G' 中对应于 (n^n)^n 个不同的循环，所以在 G' 中至少有这么多循环。 （可能会有更多，对应于 G 中存在的其他循环，但这没关系。）
OTOH，假设 G 没有哈密顿循环。那么它可以拥有的最长循环的长度为 n-1，并且它可以拥有的最大 number 个循环的上限为 n^(n-1)。要看到这一点，请注意，任何长度最多为 n-1 的循环都可以写成 n-1 个数字的序列，每个数字都在 1 到 n 的范围内，方法是找到循环中编号最小的顶点，将其写下来，然后然后写下循环中的每个连续顶点，直到再次到达原始顶点，此时我们可以（比如说）继续写下原始顶点的编号，直到我们总共写下 n-1 个数字。每个循环都会产生一个由 n-1 个数字组成的不同向量，并且最多有 n^(n-1) 个这样的向量，因此 G 中最多可以有 n^(n-1) 个不同的循环。 G 中的循环数和长度，我们现在可以计算 G' 中循环数的上限：由于 G 中的单个循环最多可以有 n-1 条边，因此它最多可以产生 (n^n)^ (n-1) 个循环 G'；并且由于 G 中最多可以有 n^(n-1) 个不同的循环，因此 G' 中最多可以有 n^(n-1)*(n^n)^(n-1) 个循环。但这简化为 n^(n^2-n)*n^(n-1) 并从那里简化为 n^(n^2-1)，这显然严格小于 n^(n^2)。
因此，我们可以通过将 G' 提供给计算有向图中的循环的算法并查看答案来判断 G 是否具有哈密顿循环：如果它至少为 n^(n^2)，则 G 具有哈密顿循环, 而如果它低于 n^(n^2) 则 G 没有哈密顿循环。因此，如果存在一个多项式时间算法来计算有向图中的循环，我们也可以在多项式时间内解决哈密顿循环（以及所有其他 NP 完全问题）。
【讨论】：