使用预先计算的平移数组的快速正弦/余弦

Question

我有以下代码使用预先计算的内存表执行正弦/余弦函数。在以下示例中，该表有 1024*128 个项目，涵盖从 0 到 2pi 的所有正弦/余弦值。我知道我可以使用正弦/余弦对称性并仅保留 1/4 的值，但在计算值时我会有更多的“如果”。

private const double PI2 = Math.PI * 2.0; 
private const int TABLE_SIZE = 1024 * 128;
private const double TABLE_SIZE_D = (double)TABLE_SIZE;
private const double FACTOR = TABLE_SIZE_D / PI2;

private static double[] _CosineDoubleTable;
private static double[] _SineDoubleTable;

设置翻译表

private static void InitializeTrigonometricTables(){
   _CosineDoubleTable = new double[TABLE_SIZE];
   _SineDoubleTable = new double[TABLE_SIZE];

   for (int i = 0; i < TABLE_SIZE; i++){
      double Angle = ((double)i / TABLE_SIZE_D) * PI2;
      _SineDoubleTable[i] = Math.Sin(Angle);
      _CosineDoubleTable[i] = Math.Cos(Angle);
   }
}

该值是以弧度为单位的双精度值。

Value %= PI2;  // In case that the angle is larger than 2pi
if (Value < 0) Value += PI2; // in case that the angle is negative
int index = (int)(Value * FACTOR); //from radians to index and casted in to an int
double sineValue = _SineDoubleTable[index]; // get the value from the table

我正在寻找一种更快的方法来做到这一点。以上 4 行占整个过程的约 25%（执行数十亿次）。

Answer 1

您可以尝试使用不安全的代码来消除数组边界检查。
但即使是一个不安全的优化版本似乎也比不上Math.Sin。

基于 1'000'000'000 次随机值迭代的结果：

(1) 00:00:57.3382769  // original version
(2) 00:00:31.9445928  // optimized version
(3) 00:00:21.3566399  // Math.Sin

代码：

static double SinOriginal(double Value)
{
    Value %= PI2;
    if (Value < 0) Value += PI2;
    int index = (int)(Value * FACTOR);
    return _SineDoubleTable[index];
}

static unsafe double SinOptimized(double* SineDoubleTable, double Value)
{
    int index = (int)(Value * FACTOR) % TABLE_SIZE;
    return (index < 0) ? SineDoubleTable[index + TABLE_SIZE]
                       : SineDoubleTable[index];
}

测试程序：

InitializeTrigonometricTables();
Random random = new Random();

SinOriginal(random.NextDouble());
var sw = System.Diagnostics.Stopwatch.StartNew();
for (long i = 0; i < 1000000000L; i++)
{
    SinOriginal(random.NextDouble());
}
sw.Stop();
Console.WriteLine("(1) {0}  // original version", sw.Elapsed);

fixed (double* SineDoubleTable = _SineDoubleTable)
{
    SinOptimized(SineDoubleTable, random.NextDouble());
    sw = System.Diagnostics.Stopwatch.StartNew();
    for (long i = 0; i < 1000000000L; i++)
    {
        SinOptimized(SineDoubleTable, random.NextDouble());
    }
    sw.Stop();
    Console.WriteLine("(2) {0}  // optimized version", sw.Elapsed);
}

Math.Sin(random.NextDouble());
sw = System.Diagnostics.Stopwatch.StartNew();
for (long i = 0; i < 1000000000L; i++)
{
    Math.Sin(random.NextDouble());
}
sw.Stop();
Console.WriteLine("(3) {0}  // Math.Sin", sw.Elapsed);

Answer 2

我假设泰勒展开式对你没用。因此，如果您想使用表格： 你只需要一张一半大的桌子。

1. cos(x) = sin(pi/2-x).
2. sin(pi + x) = -sin(x)

您可以使您的代码不分支。 先转换成int格式。

int index = (int)(Value * FACTOR);
index %= TABLE_SIZE; // one instuction (mask)
index = (index >= 0) ? index :TABLE_SIZE-index; // one instruction isel
double sineValue = _SineDoubleTable[index];

无论如何都要与 Math.Sin 进行比较。简介简介简介。 （在实际示例中，缓存未命中可能会减慢您的代码速度。）

Answer 3

如果你要计算这么多次，

1. 使用特定于处理器的数学库，例如 IKML 或 ACML 和
   1. 按组（向量）计算值。
   2. 当您需要两者时，请始终同时计算一个值的 sin 和 cos。
2. 检查您的算法复杂性和实现设计。
3. 确保您使用了所有处理器必须提供的功能 - x64 架构，以及任何有用的向量指令。

Answer 4

这看起来很不错，除了 mod 操作。没有它你能做到吗？

如果值接近于零，您可以使用

while(Value > PI2) Value -= PI2;
while(Value < 0) Value += PI2;

或者首先将索引转换为整数（可能超出范围）可能会更快，然后将其修改为整数。如果表大小是 2 的倍数，您甚至可以使用位操作（如果编译器还没有这样做的话）。

Answer 5

不能保证它会带来很多好处，但取决于您的处理器，整数数学通常比浮点数学快。在这种情况下，我可能会重新排列前三行以首先计算一个整数，然后减小其范围（如有必要）。当然，正如 BlueRaja 所指出的，使用 C++ 几乎肯定也会有所帮助。不过，使用汇编语言可能不会有什么好处——对于像这样的表查找，C++ 编译器通常可以生成非常好的代码。

如果可能的话，我也会非常努力地查看您的准确性要求 - 不知道您对这些值做了什么，这很难说，但出于很多的目的，您的您存储的表格大小和精度远远超出了必要的范围，甚至接近有用。

最后，我要指出的是，至少值得研究一下整个策略是否值得。曾经，毫无疑问，使用表格来避免复杂的计算是一种可靠的策略。不过，处理器的速度比内存快了很多——以至于如今这种表查找通常是净损失。事实上，该表几乎唯一有机会的方法就是它是否足够小以适合处理器缓存。

Answer 6

您可以尝试的一件事是使用 cos(x) = sin(x + pi/2) 的事实。并使正弦表大四分之一，因此您可以将其重用为从四分之一开始的余弦表。不确定 C# 是否允许您像 C 那样获得指向表中间的指针。但即使没有，减少的缓存使用量也可能比为正弦表偏移所增加的时间更有价值。

that,is, 用 C 表示：

double* _CosineDoubleTable = &_SineDoubleTable[TABLESIZE / 4];

Answer 7

这将是非常快，因为它是。

如果您真的需要从这段代码中挤出所有可以想象的性能下降，您可能需要考虑将这部分代码（包括循环数十亿次的外部循环）写在 C++ dll（甚至 ASM）中。确保您的编译器设置为允许您使用尽可能多的指令集。

[编辑] 我错过了表的大小 - 由于缓存未命中，这很可能会显着减慢您的代码。您是否尝试过针对 Math.Cos() 或其他逼近三角函数的方法对其进行基准测试（使用 Taylor Series 进行一些简单的乘法运算即可获得非常好的近似值）