快速小角度正弦/余弦逼近答案

【问题标题】：fast small angle sinus/cosinus approximation快速小角度正弦/余弦逼近
【发布时间】：2013-08-09 12:15:25
【问题描述】：

我正在做一些刚体旋转动力学模拟，这意味着我必须计算许多小角度的旋转，这在三角函数的评估中存在性能瓶颈。现在我按 Taylor(McLaurin) 系列来做：

class double2{
  double x,y;
  // Intristic full sin/cos 
  final void rotate   ( double a){ 
     double x_=x; 
     double ca=Math.cos(a); double sa=Math.sin(a); 
     x=ca*x_-sa*y; y=sa*x_+ca*y; 
  }
  // Taylor 7th-order aproximation
  final void rotate_d7( double a){ 
     double x_=x;
     double a2=a*a;
     double a4=a2*a2;
     double a6=a4*a2;
     double ca= 1.0d - a2  /2.0d + a4  /24.0d  - a6/720.0d;
     double sa=   a  - a2*a/6.0d + a4*a/120.0d - a6*a/5040.0d; 
     x=ca*x_-sa*y; y=sa*x_+ca*y; 
  }
}

但性能速度的交易并不像我预期的那么好：

                     error(100x dphi=Pi/100 )    time [ns pre rotation]
  v.rotate_d1()   :  -0.010044860504615213    9.314306 ns/op 
  v.rotate_d3()   :   3.2624666136960023E-6  16.268745 ns/op 
  v.rotate_d5()   :  -4.600003294941146E-10  35.433617 ns/op 
  v.rotate_d7()   :   3.416711358283919E-14  49.831547 ns/op 
  v.rotate()      :   3.469446951953614E-16  75.70213  ns/op

有没有更快的方法来评估小角度的 sin() 和 cos() 的近似值（例如

我在想可能是一些有理数列，还是连续分数近似？你知道任何？（预计算表在这里没有意义）

【问题讨论】：

有什么理由要使用系列而不是 sincos() 函数吗？您能否说明您使用的是什么语言？
看看这里stackoverflow.com/questions/13460693/using-sincos-in-java
为什么预计算表在您的情况下没有意义？内存限制？降低精度会限制您需要存储的值的数量，因为角度
看看CORDIC。
您在什么语言和平台上运行？这会有很大的不同。 @Sven - 我怀疑用软件编码的 CORDIC 会很快 - 尽管它肯定在 FPGA 上运行。

标签： performance trigonometry approximation

【解决方案1】：

您可能会发现调整计算可以提高性能。例如：

const double c7 = -1/5040d;
const double c5 = 1/120d;
const double c3 = -1/6d;

double a2 = a * a;

double sa = (((c7 * a2 + c5) * a2 + c3) * a2 + 1) * a;
// similarly for cos

现在优化器可能会自己做一些事情，所以你的里程可能会有所不同。有兴趣知道这两种方法的结果。

【讨论】：

是的，永远不要除以常数。浮点的严格规则可能会阻止编译器进行代数操作，尽管 -flags 可能允许这样做。多项式的这种表示也很好，因为它减少了运算次数并将其分解为 MAC、MAC、MAC、MUL。
好的，我得到了 2 倍的加速。

【解决方案2】：

不要优化三角函数，看看你是否可以不用它们。刚体模拟往往非常适合矢量数学。

【讨论】：

是的，我正在使用矢量数学（或者甚至更好的 2D 复数和 3D 中的四元数）但我仍然不想超越一阶扩展（使时间步长更长并保持高精确）。而精确解是由正弦和余弦组成的旋转矩阵。因此，最好将精确解扩展到更高阶的泰勒（或其他）级数。

【解决方案3】：

两种方法：尽可能降低精度（在视频游戏中经常使用，如果您以性能为目标，则使用可接受的最低精度）

您应该尝试使用列表值。每次执行一次（当游戏加载时？）计算一个 sinus/ cosinus/ 数组，然后您可以在恒定时间内访问。

float cosAlpha = COSINUS[(int)(k*alpha)]; // e.g: k = 1000

调整 k 和数组大小以选择角度分辨率与内存占用。

编辑：不要忘记使用 cosinus/sinus 函数的奇偶校验以避免选项卡中的重复值编辑2：尝试浮动而不是双倍。差异对玩家来说是微不足道的，而影响性能的方式很有趣。测试一下！

【讨论】：

这是一种非常老派的优化技术计算。测量。
我不想对整个周期进行非常粗略的近似。我想要小角度的非常精确的近似值。我想提高一次运动迭代的精度（通过角度 dphi = Omega*dt 的一些小微分旋转矢量）

【解决方案4】：

你能添加一些内联汇编器吗？以 i386 'fsincos' 指令为目标可能是最快的方法：

Vector2 unit_vector ( Angle angle ) {
  Vector2 r;

//now the normal processor detection
//and various platform specific vesions

#  if defined (__i386__) && !defined (NO_ASM)
#    if defined __GNUC__
#      define ASM_SINCOS
      asm ("fsincos" : "=t" (r.x), "=u" (r.y) : "0" (angle.radians()));

#    elif defined _MSC_VER
#      define ASM_SINCOS
      double a = angle.radians();
      __asm fld a
      __asm fsincos
      __asm fstp r.x
      __asm fstp r.y
#    endif
#  endif
}

来自here。这具有在一次调用中计算 sin 和 cos 的额外好处。

编辑：它是 Java。

您的轮换是否适当地自给自足，可以通过 JNI 一次卸载数千个？否则这种特定于硬件的方法不好。

【讨论】：

【解决方案5】：

对于较小的 x（x

最大偏差为0.0013。

【讨论】：