一次性计算正弦和余弦

Question

我有一个科学代码，它使用同一参数的正弦和余弦（我基本上需要那个参数的复指数）。我想知道是否有可能比分别调用正弦和余弦函数更快。

另外，我只需要大约 0.1% 的精度。那么有什么方法可以找到默认的三角函数并截断幂级数以提高速度？

我想到的另一件事是，有没有办法执行余数运算以使结果始终为正？在我自己的算法中，我使用了x=fmod(x,2*pi);，但是如果 x 为负数，我需要添加 2pi（更小的域意味着我可以使用更短的幂级数）

编辑：LUT 原来是最好的方法，但我很高兴我了解了其他近似技术。我还将建议使用明确的中点近似。这就是我最终要做的：

const int N = 10000;//about 3e-4 error for 1000//3e-5 for 10 000//3e-6 for 100 000
double *cs = new double[N];
double *sn = new double[N];
for(int i  =0;i<N;i++){
    double A= (i+0.5)*2*pi/N;
    cs[i]=cos(A);
    sn[i]=sin(A);
}

以下部分近似（中点） sincos(2*pi*(wc2+t[j]*(cotp*t[j]-wc)))

double A=(wc2+t[j]*(cotp*t[j]-wc));
int B =(int)N*(A-floor(A));
re += cs[B]*f[j];
im += sn[B]*f[j];

另一种方法可能是使用切比雪夫分解。您可以使用正交性属性来查找系数。针对指数进行了优化，它看起来像这样：

double fastsin(double x){
    x=x-floor(x/2/pi)*2*pi-pi;//this line can be improved, both inside this 
                              //function and before you input it into the function

    double x2 = x*x;
    return (((0.00015025063885163012*x2- 
   0.008034350857376128)*x2+ 0.1659789684145034)*x2-0.9995812174943602)*x;} //7th order chebyshev approx

Answer 1

如果您寻求对幂级数具有良好（但不高）准确度的快速评估，您应该在切比雪夫多项式中使用展开式：将系数制成表格（对于 0.1% 的准确度，您需要很少的系数）并使用递归关系评估展开式对于这些多项式（真的很简单）。

参考资料：

1. 列表系数：http://www.ams.org/mcom/1980-34-149/S0025-5718-1980-0551302-5/S0025-5718-1980-0551302-5.pdf
2. 切比雪夫扩展评估：https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials

您需要 (a) 在 -pi/2..+pi/2 范围内获取“减少的”参数，然后 (b) 在参数实际应该在时处理结果中的符号整个基本区间的“另一半”-pi..+pi。这些方面不应该构成大问题：

1. 确定（并“记住”为整数 1 或 -1）原始角度中的符号并继续使用绝对值。
2. 使用模函数减少到区间 0..2PI
3. 确定（并“记住”为整数 1 或 -1）它是否在“第二”半部分，如果是，则减去 pi*3/2，否则减去 pi/2。注意：这有效地互换了正弦和余弦（除了符号）；在最终评估中考虑到这一点。

这完成了在 -pi/2..+pi/2 中获取角度的步骤 使用 Cheb 扩展评估正弦和余弦后，应用上述步骤 1 和 3 的“标志”以获得值中的正确符号。

Answer 2

只需创建一个查找表。下面将让您查找介于 -2PI 和 2PI 之间的任何弧度值的 sin 和 cos。

// LOOK UP TABLE
var LUT_SIN_COS = [];
var N = 14400;
var HALF_N = N >> 1;
var STEP = 4 * Math.PI / N;
var INV_STEP = 1 / STEP;
// BUILD LUT
for(var i=0, r = -2*Math.PI; i < N; i++, r += STEP) {
    LUT_SIN_COS[2*i] = Math.sin(r);
    LUT_SIN_COS[2*i + 1] = Math.cos(r);
}

您通过以下方式索引查找表：

var index = ((r * INV_STEP) + HALF_N) << 1;
var sin = LUT_SIN_COS[index];
var cos = LUT_SIN_COS[index + 1];

这是一个小提琴，它显示了您可以从不同大小的 LUTS http://jsfiddle.net/77h6tvhj/ 中获得的 % 错误

编辑 这是一个带有 ~benchmark~ 与浮点 sin 和 cos 的 ideone (c++)。 http://ideone.com/SGrFVG 无论 ideone.com 上的基准测试是否值得，LUT 都快 5 倍。

Answer 3

一种方法是学习如何实现CORDIC 算法。这在智力上并不难，而且很有趣。这给了你余弦和正弦。 Wikipedia 给出了一个MATLAB example，应该很容易在 C++ 中适应。

请注意，您可以通过降低参数n 来提高速度并降低精度。

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关于您的第二个问题，已经有人问过here（在 C 中）。似乎没有简单的方法。

Answer 4

在给定角度和余弦的情况下，您还可以使用平方根计算正弦。

以下示例假设角度范围为 0 到 2π：

 double c = cos(angle);
 double s = sqrt(1.0-c*c);
 if(angle>pi)s=-s;

Answer 5

对于单精度浮点数，Microsoft 对正弦使用 11 度多项式逼近，对余弦使用 10 度逼近：XMScalarSinCos。 他们还有更快的版本 XMScalarSinCosEst，它使用低次多项式。

如果您不在 Windows 上，您会在 Boost 许可证下找到相同的代码 + 系数 on geometrictools.com。