路由到交叉矩阵收集最大和答案

【问题标题】：Route to cross matrix gathering a maximum sum路由到交叉矩阵收集最大和
【发布时间】：2014-02-06 13:36:45
【问题描述】：

所以我在翻书时偶然发现了一个有趣的问题。你得到一个 N*M 矩阵，你必须从坐标 (1,1) 到 (n,m)。

给你三种类型的“操作”来交叉矩阵。

'A'- You go from i,j to i+1,j

'B'- You go from i,j to i,j+1

'C'- You go from i,j to i+1,j+1

每次你越过一个元素，你就把它加到你的“总和”中。您被要求：

我没有解决 (1) 动态编程的问题，但是 (2) 让我陷入了困境。这本书对第（2）点没有任何解释。想知道你们中是否有人遇到过类似的事情。

【问题讨论】：

econstruct the rout 更准确地说是什么意思？一系列 A、B 和 C？
您可以将问题简化为 DAG 中的最短路径问题（根据定义，它没有负循环），只需使用 Bellman-Ford 算法在 -1*X 上找到最短路径（X 是你的矩阵）。
@Mihai Bratulescu 重建路线意味着打印您从 (1,1) 到 (n,m) 的一系列动作
@amit Belman-Ford 也是动态编程方法。这只是一个流行的。我并不是说你的评论是错误的，但我只是说 OP 可能正在使用它（没有意识到）。使用 Bellman-Ford 恢复解决方案与我相信的任何其他 DP 一样困难（恕我直言，一点也不难）。
@IvayloStrandjev 这就是为什么它是评论而不是答案。它对问题给出了不同的看法，可能对 OP 有所帮助，但它没有回答问题。

标签： algorithm

【解决方案1】：

DP 的一般经验法则：如果除了获得最优值之外还需要重构最优解，请使用第二个数组。第二个数组的大小应该与您存储子问题答案的数组的大小完全相同。然而，在这个数组中，不是存储答案，而是存储导致最佳解决方案的子问题的一些标识。在您的情况下，标识将是 A、B 或 C，以表明您进行了哪一步。

【讨论】：

【解决方案2】：

您可以仅使用子问题解决方案数组（我们称之为D）来重构路径本身，而无需任何其他数组。只需使用以下规则从(n, m) 向后移动到(1, 1)：

您可以轻松证明（记住
D[i][j] = M[i][j] + max(D[i - 1][j], D[i][j - 1], D[i - 1][j - 1]),
其中M 是初始矩阵），这将导致您到达 (1, 1)，并且结果序列确实是最大和路径。

【讨论】：