找到最大和向前然后向后的路径交叉矩阵

Question

如果我有一个矩阵，那么矩阵的每个元素都是一个非负数。我想从左下角穿过矩阵到右上角。在每一步中我只能向上或向右移动，并且每个访问过的元素都将设置为 0；之后，我从右上角走到左下角，每一步都只能向下或向左移动。

我的问题是如何有效地找到最大总和的路径。

Answer 1

让我们有一个包含N 行和M 列的矩阵，并假设N>=2 和M>=2，否则解决方案是微不足道的。我有一个使用动态编程在O(max(M,N) * min(N,M)^4) 中运行的算法。

首先，让我们证明路径不交叉的最优解（开始和结束除外）始终存在。我们将在不降低优化函数的情况下，将任何解转化为非交叉解。

证明：

首先确保第二条路径（从右上角到左下角）始终位于第一条路径的上方或同一行。通过在两条路径中取一个不正确的部分来做到这一点，然后交换它们。插图：

然后，一次移除一个碰撞。您总是可以找到至少一条路线在那里转弯的碰撞，您可以更改该路径以避免碰撞。重复此操作，直到消除所有碰撞。一步的图解：

我们看到，我们不仅没有从两条路径中删除任何元素，而且还添加了更多元素，并且所有元素都是非负数，因此总和只能增加。

算法：

我们只会考虑不交叉的路径，我也会假设N<=M（矩阵的宽度至少与高度一样）。通常我们会从一列中添加数字，这可以使用Prefix sum 快速完成。

我们将从第一列开始。对于每一对 (i,j) 使得 1<=i<j<=N 我们将计算该对的 score，即两条路径从 (1,1) 开始到结束于的总和(1,i) 和 (1,j) 分别。示例：

Matrix:
1 2 3
4 5 6
7 8 9

score(1,1) = 7
score(1,3) = 12
score(2,3) = -inf (paths cannot cross)

然后我们将根据当前列中对的分数计算下一列中每一对的分数。对于下一列中的每一对，只需查看上一列中可以扩展路径以匹配当前列路径的所有对。

最后，你的答案是最后一列中(N-1, N) 对的分数。我很抱歉我在通过书面媒体解释算法方面很糟糕，我希望它不是完全不稳定的。