为大输入计算欧拉总函数的有效方法

Question

根据维基百科关于Euler's Totient Function 的描述，我编写了以下代码：

from math import gcd

def phi(n):
    amount = 0
    for k in range(1, n + 1):
        if gcd(n, k) == 1:
            amount += 1
    return amount

它适用于小数字，但我想计算数字的 totient 函数，例如 n = 5692297035794675412610596123456169

有没有更好的方法来计算大输入的 Totoent 函数？

Answer 1

由于这也被标记为密码学，这更多地涉及到可能算法的有效性。

如果您知道n 的主要因子，则有一种方法可以非常快速地计算 Euler Totient φ。让 p_i 是 k 的不同素数因子 n 然后

φ(n) = (p₁ -1) * (p₂-1) * ... * (p_k -1)

也有一个主要力量的公式。这里没有必要这样做，因为 RSA 加密/签名或 Paillier 加密或 Rabin 签名都使用 n = p*q 和两个不同的素数 p 和 q。

正如我们所见，有效地找到 φ(n) 需要分解的知识。事实证明，对于 RSA，φ(n) 的知识等于n 的因式分解。一会儿看这里；

• Why is it important that phi(n) is kept a secret, in RSA?

或参见原始 RSA 论文；

• A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems

如果我们转向分解 (RSA)，则在 2020 年达到的当前记录 CADO-NFS 有 factored 和 828-bit n，具有“大约 2700 个核心年，使用 Intel Xeon Gold 6130 CPU 作为参考 (2.1GHz) )”。

但是，如果您需要使用 RSA，则应使用大小至少为 2048 位的模数，请参阅keylength.com。至少在一段合理的时间内，从经典分解和 Shor 的量子分解算法中分解是安全的。

因此，如果您不知道因式分解，则没有有效的算法来找到大n 的欧拉总数。