计算函数总和的高效算法

Question

给定 N 个 (x,y) 形式的点，我们需要计算以下函数：

F(i,j) = ( | X[i] - X[j] | ) * ( | Y[i] - Y[j] | )

计算所有有序对 (i,j) 的 F(i,j) 总和

N

我正在寻找O(N log N) 解决方案。

我最初的想法是按 X 对点进行排序，然后使用 BIT，但我无法制定明确的解决方案。

Answer 1

我有一个使用O(N log(M)) 时间和O(M) 内存的解决方案，其中M 是Y 的范围大小。和你想的差不多。

首先对点进行排序，使X坐标增加。

让我们将A 写成所有对i > j 的总和i > j，这样Y[i] > Y[j]，并写成B 作为所有对i > j 的相同表达式的总和，这样Y[i] < Y[j]。

A + B 的总和可以在O(N) 时间内轻松计算，最终答案可以从A - B 计算。因此计算A就足够了。

现在创建一个二叉索引树，其节点由[a, b) 形式的整数索引，对于某些k，则为b = a + 2^k。 （不是一个好句子，但你知道我的意思，对吧？）根节点应该覆盖[Y_min, Y_max] 的可能值Y 的区间。

对于任何由[a, b) 索引的节点和任何i，让f(a, b, i) 成为以下多项式：

f(a, b, i)(X, Y) = sum of (X - X[j]) * (Y - Y[j]) for all j such that j < i and Y[j] < Y

它的形式是P * XY + Q * X + R * Y + S，因此这样的多项式可以用四个数字P, Q, R, S来表示。

现在从i = 0开始，你可以计算f(a, b, i)(X[i], Y[i])。要从i 到i + 1，您只需更新那些包含Y[i] 的区间[a, b)。当您到达i = N 时，会计算A 的值。

如果您负担得起O(M) 内存，那么这应该可以正常工作。