有没有办法在 R 中找到矩阵的行和列空间的基础？答案

【问题标题】：Is there a way to find a basis of the row and column spaces of a matrix in R?有没有办法在 R 中找到矩阵的行和列空间的基础？
【发布时间】：2016-04-04 15:21:05
【问题描述】：

一位同事向我提出了这个问题，我希望得到答案。对 R 很陌生，而且我的第一个线性代数课程才刚刚完成，数小时的搜索并没有得到答案。在这里的任何帮助将不胜感激！

我知道这个问题相当模糊且不详细，但这正是向我提出的问题。如果被问到，我会尝试添加任何细节。

这也是我在这里的第一个问题，所以如果我没有正确提出问题，我深表歉意。欢迎批评我，我是来学习的。

【问题讨论】：

标签： r linear-algebra

【解决方案1】：

您可以使用 rref(A) 函数从 pracma 包中定义行和空空间。行空间将是具有前导 1 的列，空/列空间将是列数减去行空间。所以代码 rref(as.matrix(A)) 然后写一点来找到你的简化矩阵中的枢轴列并计算你的列。剩下的就是简单的算术。

【讨论】：

rref() 函数很有帮助。现在我有了我的 rref 矩阵，我无法将列空间与矩阵的其余部分分开。我知道带有前导 1 的列是列空间的一部分，而其他列是空空间的一部分。因此，如果在 5 列矩阵中，第 1、2 和 4 列有前导 1，这就是列空间的基础。我现在如何用 R 代码确定和显示它是我的问题。
可以对列的向量求和。类似于： A
我刚刚检查过，Null{MASS} 可以在手卷解决方案之外工作。从nullity中你可以找到其他属性。

【解决方案2】：

记住矩阵的four subspaces：

在 R4 中创建一个包含 3 个向量的矩阵，只有两个线性无关：

> v1 <- c(3,5,11,-1)
> v2 <- c(45,-2,5,23)
> v3 <- v1 -2*v2
> 
> (M <- cbind(v1,v2,v3))
     v1 v2  v3
[1,]  3 45 -87
[2,]  5 -2   9
[3,] 11  5   1
[4,] -1 23 -47

确定排名：

> # RANK:
> nrow(rref(M)[apply(rref(M)[,-1], 1, function(x) !all(x==0)),])
[1] 2

为 COLUMN SPACE 生成一个基础，它存在于 R4 中，是所有 Mx=b 的结果 (b)：

> (Col_sp <- t(rref(t(M))[apply(rref(t(M)), 1, function(x) !all(x==0)),]))
            v1         v2
[1,] 1.0000000  0.0000000
[2,] 0.0000000  1.0000000
[3,] 0.2034632  2.0779221
[4,] 0.4891775 -0.4935065

为 R4 中的列空间（即 LEFT NULL SPACE 或转置的空空间）或 tr(M)x = 0 中的 x 生成正交子空间的基础：

library(MASS)
> (Left_Null <- Null(M))
           [,1]         [,2]
[1,] -0.2369092 -0.399278229
[2,] -0.8051370  0.413649975
[3,]  0.4573183 -0.004747012
[4,]  0.2940891  0.818198057

这两个向量是否满足条件tr(M)x = 0？

> round(t(M)%*%Left_Null,10)
   [,1] [,2]
v1    0    0
v2    0    0
v3    0    0

检查！

这两个子空间真的正交吗？

> round(t(Col_sp) %*% Left_Null, 10)
   [,1] [,2]
v1    0    0
v2    0    0

检查！

为存在于 R3 中的 ROW SPACE 或Mx = b 的解决方案 (x) 生成基础：

> (Row_sp <- rref(M)[apply(rref(M), 1, function(x) !all(x==0)),])
     v1 v2 v3
[1,]  1  0  1
[2,]  0  1 -2

为RIGHT NULL SPACE（列空间的零空间）或Mx=0生活在R3中的解决方案生成基础：

> (Right_Null <- Null(t(M)))
           [,1]
[1,] -0.4082483
[2,]  0.8164966
[3,]  0.4082483

Mx=0 实现了吗？

> round(M %*% Right_Null, 10)
     [,1]
[1,]    0
[2,]    0
[3,]    0
[4,]    0

检查！

最后两个子空间是正交的吗？

> round(Row_sp %*% Right_Null,10)
     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

检查！

【讨论】：