【问题标题】：Julia - Find basis of column space of matrixJulia - 查找矩阵列空间的基础
【发布时间】：2021-12-28 13:10:58
【问题描述】：

我有一个(n, m) 矩阵A，它的秩为r < minimum([n, m])。我想找到跨越列/行空间的r 向量的基础。我该怎么做？

这是一个如何生成数据的方法。由于排名是3，我希望能够找到3 向量的基础。

using LinearAlgebra: svd, rank, Diagonal

function generate_rank_r_matrix(r; n=20, m=10)
    U, S, V = svd(randn(n, m))
    return U[:, 1:r] * Diagonal(S[1:r]) * V[:, 1:r]'
end

A = generate_rank_r_matrix(3)
rank(A)

尝试

我知道qr 分解的Q 矩阵本质上包含列空间的一些基础，但我不确定如何仅找到r 向量。

也许可以使用 SVD？

【问题讨论】：

标签： julia linear-algebra

【解决方案1】：

RowEchelon 正是您所需要的！您只需要在计算行梯形后删除零行

【讨论】：

【解决方案2】：

您绝对可以使用 SVD。但是 QR 分解通常更便宜。

对于您的示例，QR 分解的结果有两个属性Q 和R，R 的对角线元素告诉您有多少 Q 元素作为您想要的列基础感兴趣。如果分解使用花式旋转，您可能需要考虑排列。稀疏矩阵几乎肯定会利用它来避免填充。

julia> x = qr(A);

julia> x.R
10×10 Matrix{Float64}:
 -3.74988  -1.84617  -0.690789   0.572068     …  -2.25879      -1.66442
  0.0      -1.35248  -0.951006  -0.424635        -1.81135       1.73008
  0.0       0.0      -1.01584    1.49595         -3.20437       0.880599
  0.0       0.0       0.0       -8.03415e-16      1.38778e-15  -1.11022e-16
  0.0       0.0       0.0        0.0             -3.88578e-16   2.63678e-16
  0.0       0.0       0.0        0.0          …  -2.91378e-16   4.50689e-16
  0.0       0.0       0.0        0.0             -4.09934e-17   8.76055e-17
  0.0       0.0       0.0        0.0             -2.66033e-16   1.40809e-17
  0.0       0.0       0.0        0.0             -6.19269e-16   1.2146e-16
  0.0       0.0       0.0        0.0              0.0           3.00838e-16
julia> diag(x.R)
10-element Vector{Float64}:
 -3.7498805345096264
 -1.3524838792645477
 -1.0158363404176274
 -8.034148497889382e-16
 -4.903462616556098e-16
 -9.260239239557565e-16
  1.0342057190512138e-15
 -2.5223684462590304e-16
 -6.192691559225543e-16
  3.008378301264802e-16

请注意，所有这些信息都以非常易读的形式在文档中提供。要找到它，请输入“？”在 REPL 中，然后在 qr 中。

【讨论】：