java浮点精度（ 0.1+0.2+...+1.00 ..or.. 1.00+0.99+0.98+...+0.1 ）答案

【问题标题】：java floating point accuracy ( 0.1+0.2+...+1.00 ..or.. 1.00+0.99+0.98+...+0.1 )java浮点精度（ 0.1+0.2+...+1.00 ..or.. 1.00+0.99+0.98+...+0.1 ）
【发布时间】：2015-01-19 02:41:46
【问题描述】：

我正在准备考试，我解决了这个问题

添加 0.1+0.2+...+1.00 ..或.. 1.00+0.99+0.98+...+0.1

在 Java 中以什么顺序添加数字以获得更高的准确性？

【问题讨论】：

你的意思是开始0.01 + 0.02 + ...？
如果你真的可以选择，那么 sum(i = 0, n, i) == n * (n+1) / 2，就是 100 * 101 / 2 / 100 == 101 / 2 == 50.5
实际上，@ElliottFrisch 的结合律（除了交换律之外还需要它）不适用于浮点运算。
System.out.println(1.1 + 0.0001 + 0.0003 + 1.2 == 1.1 + 1.2 + 0.0001 + 0.0003); 显示为假。 @ElliottFrisch
更引人注目的是，1e100 + 1 - 1e100 == 0。

标签： java floating-point floating-accuracy

【解决方案1】：

任何 COBOL 程序员都能立即回答这个问题。

问题的关键在于，如果先将大数相加，则在添加小数时会失去精度。先加上小数。

【讨论】：

@tmyklebu - 不，它没有。在你的答案下查看我的评论。
@DavidWallace：是的。在我的回答下的评论下查看我的评论。

【解决方案2】：

有一个结果表明，如果以递增顺序添加一系列正数，则可以获得更好的最坏情况错误界限。这个结果并不意味着，对于给定的正数序列，将数字按升序相加会得到更小的误差。

例子：

int main() {
  float f = 0, g = 1;
  for (int i = 1; i <= 99; i++) {
    char buf[42];
    float ff;
    sprintf(buf, "0.%02i", i);
    sscanf(buf, "%f", &ff);
    f += ff;
    sprintf(buf, "0.%02i", 100-i);
    sscanf(buf, "%f", &ff);
    g += ff;
  }
  f += 1;
  printf("%a %a\n", f, g);
}

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0x1.940002p+5 0x1.93fffep+5

有问题的 100 个 floats 的确切总和是 0x1.93ffffff8p+5 ，表示这里以递减的顺序求和获胜。

【讨论】：

我正要投票赞成这个答案，以指出最坏情况下的错误界限和实际错误之间的区别。但后来我到了最后一段，决定不这样做。您无法通过将f 和g 声明为double 来获得准确的结果。使用double 和使用float 存在完全相同类型的错误——它们只是更小。在这种情况下，正确答案是50.5 = 0x1.94p+5，您可以使用铅笔和纸或算盘来计算，但不能使用double。因此，如果两个加法给出0x1.940002p+5 和0x1.93fffep+5，那么它们相等 ...
... 不准确 - 每次计算的误差完全相同。
@DavidWallace：阅读代码。所有的和都是大于 2^(-40) 的 2 的幂的倍数。所以是的，您可以通过将f 和g 声明为double 来获得确切的答案。这 100 个 floats 的确切总和是我给出的数字，它小于 0x1.94p5。
是的，但问题不在于添加floats。 float 的可表示性与 OP 的要求完全无关。
@tmyklebu 是的，同意，对不起，我的观点是，浮点数的精确总和近似于分数 i/100 小于精确分数总和的 1/2ulp我/100。

【解决方案3】：

由于这是一个算术级数，它的和可以计算如下

Sn = n * (a1 + an) / 2

Sn ... sum
n  ... number of elements
a1 ... first element
an ... last element

当您消除大部分数字时，这似乎是最好的解决方案。

【讨论】：

这是真的，但它实际上并没有回答这个问题。 OP 有两个选项可供选择 - 这不是其中之一。
你是对的。所有人都为我们的学校系统欢呼。
你在考试时问过这个？还是之后？
呃...0.1 + 0.2 ... + 0.98 + 0.99 + 1.00 不是我所知道的算术级数。如果数字是0.01 + 0.02 + ... 0.99 + 1.00，就会是这样。

【解决方案4】：

比将所有数字线性相加更好，您应该研究一种分治法（分别对数组的一半求和）。

这很像Precise sum of floating point numbers

【讨论】：