IEEE 754 浮点减法精度丢失答案

【问题标题】：IEEE754 float point substraction precision lostIEEE 754 浮点减法精度丢失
【发布时间】：2015-07-28 20:54:40
【问题描述】：

这是减法

第一个数字

Decimal       3.0000002
Hexadecimal   0x4040001
Binary: Sign[0], Exponent[1000_0000], Mantissa[100_0000_0000_0000_0000_0001]

减去第二个数字：

Decimal 3.000000
Hexadecimal 0x4040000
Binary: Sign[0], Exponent[1000_0000], Mantissa[100_0000_0000_0000_0000_0000]

============================================

在这种情况下，指数已经相同，我们只需要减去尾数。我们知道在 IEEE754 中，尾数前面有一个隐藏位 1。因此，结果尾数应该是：

Mantissa_1[1100_0000_0000_0000_0000_0001] - Mantissa_2[1100_0000_0000_0000_0000_0000]

等于

Mantissa_Rst = [0000_0000_0000_0000_0000_0001]

但是这个数字没有归一化，因为第一个隐藏位不是 1。因此我们将 Mantissa_Rst 右移 23 次，同时指数减 23。

那么我们就有了结果值

Hexadecimal 0x4040000

Binary: Sign[0], Exponent[0110_1000], Mantissa[000_0000_0000_0000_0000_0000].

总共 32 位，不需要四舍五入。

注意在尾数区域，还有一个隐藏的1。

如果我的计算是正确的，那么将结果转换为十进制数是0.00000023841858，与实际结果0.0000002相比，我仍然认为这不是很精确。

所以问题是，我的计算错了吗？或者实际上这是一个真实的情况，并且一直在计算机中发生？

【问题讨论】：

十进制数3.0000002不能以2为底精确表示，它将四舍五入到最接近的可表示数字。将其转换为双精度并输出更多数字，您就会明白我的意思了。
这在计算机上一直发生。如果你想看的话。尝试计算 (1/3 + 1/3 +1/3) ==1。这是因为它可以正好是 0.0000002，尾数为 23，指数为 8
如果您认为这很糟糕，请意识到这是良性取消。还有一个类似的问题，称为灾难性取消。

标签： c++ floating-point floating-accuracy floating-point-precision

【解决方案1】：

不准确已经从您的输入开始。 3.0000002 是分母中素因数为 5 的分数，因此它以 2 为底的“十进制”扩展是周期性的。没有多少尾数位足以准确地表示它。您给出的浮点数实际上具有 3.0000002384185791015625 的值（这是精确的）。是的，这种情况一直都在发生。

不过，不要绝望！ Base 10 也有同样的问题（例如1/3）。这不是问题。好吧，它适用于某些人，但幸运的是，还有其他数字类型可以满足他们的需求。浮点数有很多优点，轻微的舍入误差与许多应用程序无关，例如当您的输入不是您感兴趣的内容的完全准确测量时（大量科学计算和模拟）。还要记住 64 位浮点数也存在。此外，误差是有界的：通过尽可能最好的舍入，您的结果将在从无限精度结果中删除的最后一位的 0.5 个单位内。对于作为示例的 32 位浮点数，这大约是 2^-25，或 3 * 10^-8。当您执行必须舍入的额外操作时，这种情况会变得越来越糟，但是通过仔细的数值分析和right algorithms，您可以从中获得很多里程。

【讨论】：

那么，我的手算步骤正确吗？我的意思是，对于隐藏的 1，我不太确定我的计算步骤的方式。
@ShuaiyuJiang 我没有仔细看你的十六进制计算，但我没有发现它们有什么明显的问题。
@ShuaiyuJiang 我没有重新计算偏移量、新指数是多少等，但总体上看起来是正确的。

【解决方案2】：

只要 x/2 ≤ y ≤ 2x，x - y 的计算就是精确，这意味着没有任何舍入误差。在您的示例中也是如此。

您只是错误地假设您可以有一个等于 3.0000002 的浮点数。你不能。 “float”类型只能表示小于 2^24 的整数乘以 2 的幂。 3.0000002 不是这样的数字，因此它被四舍五入到最接近的浮点数，即更接近 3.00000023841858。减去 3 可以精确计算差值，并得出接近 0.00000023841858 的结果。

【讨论】：