这两个离散有限自动机有何不同？答案

【问题标题】：How do these two discrete finite automata differ?这两个离散有限自动机有何不同？
【发布时间】：2016-10-04 02:27:55
【问题描述】：

我有以下语句定义的离散有限自动机：

{ω | ω 是任何不在 a* 中的字符串 ∪ b*}

出于某种原因，我只是不理解“a* ∪ b*”部分。我知道联合是什么，但这与 a* b* 有何不同？这两个语句的结果 DFA 是否相同？我需要先创建这个语言的补全的DFA，然后再根据那个DFA来创建上述语言的DFA。

谁能帮我理解这个？

【问题讨论】：

aaaabb 在a* b* 中，但不在a* U b* 中。
据我了解，a* ∪ b* 是{λ, a, b, aa, bb, aaa, bbb, …}。 a*b* 是 {λ, b, bb, bbb, …, a, ab, abb, abbb, …, aa, aab, aabb, …}。
所以基本上，它就像 a* b*，只是它们不能混合和匹配......它必须是 a 的第一个，然后是 b 的？

标签： regular-language finite-automata

【解决方案1】：

让我们分解定义，然后更容易看出a* ∪ b* 和a* b* 之间的区别。

集合x*指符号x的任意非负数（包括零）次数。这包括空字符串 (ε)、x、xx、xxx 等等。
集合XY 指的是X 后跟Y 中的任何符号
- 如果X = {1, 2} 和Y = {a, b}，那么XY = {1a, 1b, 2a, 2b}
集合X ∪ Y 指的是X 和Y 描述的集合的并集。这包括可能在集合X 或Y 中的任何符号，但不一定两者兼有。
- 如果X = {1, 2} 和Y = {a, b}，那么X ∪ Y = {1, 2, a, b}

从上面我们可以推断出a* b* 中的元素集合是集合a* 中的任何元素，后跟集合b* 中的任何元素（请记住，因为我们使用的是* 符号，包括空字符串）。 a* = {ε, a, aa, aaa, aaaa, ... } 和 b* = {ε, b, bb, bbb, bbbb, ... }。因此a* b* = {ε, a, b, ab, aa, aab, aabb, bb, abb, aabb, ...}。

同样，我们现在知道a* ∪ b* 包含集合a* 或b* 中的任何元素。因此a* ∪ b* = {ε, a, b, aa, bb, aaa, bbb, aaaa, bbbb, ...}。请注意，没有任何元素同时具有符号 a 和 b，因为它不在集合中。

最后，您可以询问a* b* 中的元素是什么，但a* ∪ b* 中没有。 a* b* \ a* ∪ b* = { x ∈ a* b* | x ∉ a* ∪ b*} = { ab, abb, abbb, ... aab, aabb, aabbb, ..., aaab, aaabb, ... }。这些元素中包含both 符号a 和 b。

【讨论】：

【解决方案2】：

a* U b* 是所有a 字符串的语言，以及所有b 字符串的语言：{empty, a, b, aa, bb, aaa, bbb, ...}。不是这种语言的字符串是那些不仅包含as 或bs 而且同时包含：{ab, ba, aab, aba, baa, abb, bab, bba, ...} 的字符串。 a*b* 是另一种语言，它包含所有as 位于bs 之前的所有字符串：{empty, a, b, aa, ab, bb, ...}。 a*b* 是 a* U b* 的超集，但不等于它。它既不是a* U b* 中字符串语言的子集也不是超集，但它确实在许多地方重叠。由于这三种语言都是不同的，因此这三种语言都有不同的 DFA。

【讨论】：