动态规划——“最大化”矩阵链乘法

Question

我现在正在自己练习动态编程。对于经典问题“矩阵链乘法”是找到最小数量的标量乘法。也就是说，

M[i,j] = 0 if i=j
       = Min(i<=k<j){M[i,k-1]+M[k,j]+Pi-1*Pj*Pk}
and its time complexity is O(n^3)

但是我很好奇，如果我想找到标量乘法的“最大化”（而不是最小值），它是否存在最优结构，是否有可能在多项式时间内解决它？

Answer 1

与最小化应用完全相同的推理：

• 如果将 a₁ ... a_i 相乘，则生成的矩阵维度不依赖于内部括号。

• 因此，如果 a₁ ... a_i ... a 的最优 - 即最昂贵 - 分区_n 是将 1 到 i 和 i + 1 到 的矩阵相乘>n，则由a₁ ... a_i和ai + 1 ... a_n

由于最优子结构仍然存在，您可以使用与最小化相同的算法（当然，将最优性的标准从最小值更改为最大值）。