拓扑排序以查找到 t 的路径数

Question

我必须开发一种与拓扑排序相关的 O(|V|+|E|) 算法，该算法在有向无环图 (DAG) 中确定从图的每个顶点到 t 的路径数（t 是出度为 0 的节点）。我对 DFS 进行了如下修改：

DFS(G,t):
    for each vertex u ∈ V do
        color(u) = WHITE
        paths_to_t(u) = 0
    for each vertex u ∈ V do
        if color(u) == WHITE then
            DFS-Visit(u,t)

DFS-Visit(u,t):
    color(u) = GREY
    for each v ∈ neighbors(u) do
        if v == t then
            paths_to_t(u) = paths_to_t(u) + 1
        else then
            if color(v) == WHITE then
                DFS-Visit(v)
            paths_to_t(u) = paths_to_t(u) + paths_to_t(v)
    color(u) = BLACK

但我不确定这个算法是否与拓扑排序有关，或者我是否应该从另一个角度重新构建我的工作。

Answer 1

可以使用动态规划和拓扑排序来完成，如下所示：

Topological sort the vertices, let the ordered vertices be v1,v2,...,vn
create new array of size t, let it be arr
init: arr[t] = 1
for i from t-1 to 1 (descending, inclusive):
    arr[i] = 0  
    for each edge (v_i,v_j) such that i < j <= t:
         arr[i] += arr[j]

完成后，对于[1,t]中的每个i，arr[i]表示从vi到vt的路径数

现在，证明上述主张很容易（与您的算法相比，我不知道它是否正确以及如何证明），它是通过归纳来完成的：

基础：arr[t] == 1，确实有一条从 t 到 t 的路径，即空路径。
假设：对于m < k <= t 范围内的每个k，该声明都是正确的
证明：我们需要证明m 的声明是正确的。
让我们看看vm:(v_m,v_i) 的每个出边。
因此，使用这条边 (v_m,v_i) 的从 v_m 开始到 vt 的路径数。正好是arr[i]（归纳假设）。将来自v_m 的所有出边可能性相加，得出从v_m 到v_t 的路径总数——这正是算法所做的。
因此，arr[m] = #paths from v_m to v_t

QED

时间复杂度：
第一步（拓扑排序）采用O(V+E)。
循环遍历所有边一次，所有顶点一次，所以它也是O(V+E)。
这给了我们O(V+E)的总复杂度