拓扑排序答案

【问题标题】：topology sorting拓扑排序
【发布时间】：2016-05-23 14:57:24
【问题描述】：

给定一个有 N 个节点的 DAG，每个节点都有一个值（例如，0.2、0.5、1.3、0.1...）。我想将顶点排序成一个链。难点在于对节点进行排序时有一个目标函数。

例如，链是x---> y --->z ---> w。每个链接都有一个权重，对于（x，y）权重= x，链接（y，z）权重= xy，链接（z，w）权重= xyz等等。

目标函数是最小化所有链接权重的总和（此处为链：x+xy+xyz）。

我一直在考虑。但我现在不知道。有没有人可以就算法设计或问题的复杂性证明提供一些想法？谢谢。

【问题讨论】：

贪心对这个有用吗？由于是拓扑排序，每个子问题都独立于父问题。
没有。我不这么认为。这是一个反例：DAG 由两条独立的链组成：1.2---> 0.5 和 1.1--->1.001。优化后的排序链应该是 1.2----> 0.5---->1.1---->1.001。也许对于一种贪婪算法，链应该是：1.1----> 1.001---->1.2 ---> 0.5（最小顶点优先）。你能提供更多关于贪心算法的想法吗？
节点值到底重要还是链接权重重要？
@user2585677 你贪婪地选择下一个状态，而不是下一个节点。实际上，它只是状态空间上的 Dijkstra，其中距离是下一个节点的边际成本。这应该在 O(n log n) 中运行，其中 n 是状态数，所以 O(v*2^v)，这对于几十个节点来说很好，但不适用于一般的 n。
另外，您的反例与您的问题陈述相矛盾，因为您将链接 (z,w) 的权重定义为 xyz，因此输出只是总和，但我看到您的意思可能是权重是 z，选择该链接的成本是先前权重的乘积。

标签： algorithm sorting graph-algorithm

【解决方案1】：

这是 kevmo314 提到的算法，用 Python 实现。可能它应该在 C 中重新实现，用按位操作代替集合操作。

我们可以重写目标

x + x*y + x*y*z = x*(1 + y*(1 + z)),

所以假设所有的权重都是正的，总体目标在子问题目标中是单调的，这允许动态规划。

def optimal_order(predecessors_map, weight_map):
    vertices = frozenset(predecessors_map.keys())
    memo_map = {frozenset(): (0, [])}
    return optimal_order_helper(predecessors_map, weight_map, vertices, memo_map)


def optimal_order_helper(predecessors_map, weight_map, vertices, memo_map):
    if vertices in memo_map:
        return memo_map[vertices]
    possibilities = []
    for v in vertices:
        if any(u in vertices for u in predecessors_map[v]):
            continue
        sub_obj, sub_order = optimal_order_helper(predecessors_map, weight_map, vertices - frozenset({v}), memo_map)
        possibilities.append((weight_map[v] * (1.0 + sub_obj), [v] + sub_order))
    best = min(possibilities)
    memo_map[vertices] = best
    return best


print(optimal_order({'u': [], 'v': ['u'], 'w': [], 'x': ['w']}, {'u': 1.2, 'v': 0.5, 'w': 1.1, 'x': 1.001}))

【讨论】：

聪明，优秀！！你帮助我了解问题的性质和背景。