为什么我们在归并排序算法中插入 i 作为 log(n-1)

Question

我对归并排序算法的数学证明有疑问。我只看到证明是数学的，但问题与算法有关。

最坏情况下归并排序的时间复杂度，T(n) = 2T(n/2) + n-1

=> T(n) = n-1 + 2T(n/2) // 递归部分总是放在最后以保持简单

即插即插法：

T(n) = n-1 + 2[n/2-1 + 2T(n/4) ]    //plug
     = n-1 + n-2 + 4T(n/4)          //chug
     = n-1 + n-2 + 4[n/4 -1 + 2T(n/8)]    //plug 
     = n-1 + n-2 + n-3 + ....... + n- 2^i-1 + 2^i T(n/2^i) //rounding off

现在我对这一步有疑问，他为什么将 i 作为 log(n-1)？这给了我们一个答案：

     =nlogn -n+1

Answer 1

随着问题n 的大小减少，每次减半，n 变成可以在恒定时间内解决的基本情况问题的大小。 在这种情况下，n=1 是基本情况，因为已知T(1) 是有序的O(1)。

在您的扩展中，数字i 是n 减半的次数。

现在的问题是：当n 在递归停止处变为1 时，此时i 的值是多少？

即n可以被2除多少次才变成1？

答案是log_2(n)

所以“即插即用”扩展在值 i = log_2(n) 处停止