来自 x 和 y 旋转的 3D 矢量坐标

Question

我多次尝试谷歌这个问题，但我发现只有关于“旋转矩阵”的文章。

我有 3d 坐标系和两个角度：α 用于 x 旋转，β 用于 y 旋转（我不确定我是否在图表中正确定位了角度）。

我需要找到Vector(x_1, y_1, z_1)的坐标

请帮我找出公式。

Answer 1

让我们把它分成两个转换。

从 (0,0,1) 处的单位向量开始，我们将首先应用 alpha 变换。

您可以将绕 y 轴的旋转视为二维变换，而完全忽略 y 轴。然后，用变换角 (alpha) 的 cos 和 sin 获得 x 和 z 分量就变得很简单了。我们知道向量的长度是 1，因为它是单位向量，但您的向量可以是任意长度 - 只需将 cos 和 sin 方程乘以向量的长度即可。

第一个转换给我们留下了这个公式：

(x1, y, z1) => (sin(alpha), 0, cos(alpha))

假设您的变换角度从 +z 轴开始，随着它的增加，该角度围绕 y 轴（或在 XZ 平面上）逆时针移动。

对于第二个变换，我们围绕垂直于向量的轴旋转。我们将做一些非常相似的事情，但这次用 x1 和 z1 代替我们的新值 sin(alpha) 和 cos(alpha)。

得到 y1 就像像以前一样取 beta 角的 sin 一样简单，但是转换 x1 和 z1 需要我们通过这个三角形的余弦分量来缩放 x1 和 z1。这是因为 x1 和 z1 之间的关系不会随着我们围绕它们的垂直轴旋转而改变。

想象一个圆心在原点，圆周上有一个点在 (x1, 0, z1)。当我们围绕该圆旋转矢量时，x1 和 z1 相对于中心点进行缩放，但它们的比例不会改变。

我们所要做的就是用我们的 beta 角的余弦分量来缩放这两个数字。我在这里标记了那个 omega。

这给我们留下了一个最终公式

(x2, y1, z2) => (cos(beta)*sin(alpha), sin(beta), cos(beta)*cos(alpha))