3D 中的矢量旋转

Question

我在 3D 空间中有两个点 A 和 B，我知道向量 AB 的大小和方向（在 x、y、z 坐标中）。我在 A 处有一个力 F，我知道它的大小和方向。我可以通过获得 A 处的力与单位向量 AB，因此知道大小和方向。垂直于 AB 的力，表示为 F_perp_AB，然后通过向量加法 (F_par_AB + F_Perp_AB = F）。

我现在的问题是我想将 F_perp_AB 分解为两个组件，我们称它们为 vec1 和 vec2，它们都与彼此并正交于AB。我认为这可以通过某种矢量旋转来实现，我在其中创建了一个新的坐标系 x'y'z'。我将x'定义为AB的方向，y'定义为vec1的方向，z'定义为vec2的方向强>。知道 AB 在原始 xyz 坐标系中的方向，是否可以进行某种旋转，以便我可以将总力 F 解析为沿 x' 的力（沿着AB，这个方向的力是已知的），y'和z'？

谢谢

Answer 1

cross-product of 2 vectors根据定义垂直于两个向量（假设向量不平行）

在数学中，叉积或向量积（偶尔 有向面积积以强调几何意义）是 三维空间中两个向量的二元运算（R 3 ）， 叉积 a × b（读作“a cross b”）是一个向量，它是 垂直于 a 和 b，因此垂直于平面 包含它们。它在数学、物理、 工程和计算机编程。它不应该与 点积（投影积）。

如果两个向量具有相同的方向（或完全相反 彼此的方向，即不是线性独立的）或者如果 任何一个长度为零，则它们的叉积为零。

所以第三个向量垂直只是 AB 和 F_perp_AB 的叉积，并且根据定义与它们都垂直。所以它定义了一个 3D 坐标系。

如果你愿意，你也可以标准化为有单位长度等等。

更新： 我希望将 F_perp_AB 解析为两个向量，它们相互垂直，也与向量 AB 垂直。

在这种情况下，您可以取任何垂直于 AB 的随机变量，并通过减去 AB 上的投影等来找到与其垂直的对偶垂直点。

例如，您始终可以将第一个向量作为 F_perp_AB 本身，将另一个向量作为与两者垂直的向量（例如叉积）。没有唯一的答案，任何组合都是有效的，没有任何其他限制选择的标准。

叉积是将垂直向量构造为2个向量的一般方法。

注意 没有理由不能计算 F_perp_AB 和 AB（我们称之为 ZZ）的叉积来给出第 3 个轴并将 F 解析为这 3 个轴（F 将有第三轴 ZZ 上的零坐标，但同样没有唯一的解决方案，这是可接受的解决方案）。可以对向量 F_perp_AB 和 ZZ 进行任何随机旋转，这将给出另一个等效的 3D 坐标系，其中 F 在第 3 轴上不会有零坐标。如果没有给出进一步的标准，就没有唯一的解决方案。

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