从初始和最终旋转四元数中获取旋转轴

Question

我必须使用 UP 和 Direction 矢量（它们都相互垂直）找到相机的轴和旋转角度。我有旋转的相机的 UP 和方向矢量的初始和最终位置。我想找到相机的旋转轴和角度。我在我的项目中使用 C#。我是这个 3D 旋转的新手。所以如果你觉得我的问题很傻，请原谅我的问题。

Answer 1

从方向（前向）向量f和向上向量u，您可以通过执行vector cross product（ s = f x u）。现在所有三个向量都是正交的。您还应该通过对它们中的每一个进行归一化来使它们正交化。总之，这些向量构成一个正交基。

您现在有两个这样的基础：一个来自初始相机方向，一个来自最终相机方向。两个基都可以表示为一个旋转矩阵。旋转矩阵只是一个 3x3 矩阵，其中 3 行分别是：

1. 前向向量
2. 向上向量
3. 边向量

例如矩阵：

[[1 0 0]
 [0 1 0]
 [0 0 1]]

可能是您在启动时的初始相机方向，其前向矢量、向上矢量和侧向矢量分别指向正 x 轴、y 轴和 z 轴。

您现在可以使用此algorithm 将这两个基（M1 和 M2）转换为两个单位四元数（Q1 和 Q2），该algorithm 可以处理除以零等潜在问题。

此时，您有两个单位四元数代表您的初始和最终相机方向。您现在必须找到将 Q1 转换为 Q2 的四元数 qT，即：

q2 = qT * q1
q2 * q1^-1 = qT * (q1 * q1^-1) = qT
=> qT = q2 * q1^-1

知道单位四元数的倒数等于它的conjugate：

q1^-1 = q1*    iif  ||q1|| = 1
qT = q2 * q1^-1 = q2 * q1*

还剩一步：extracting the axis and angle from quaternionqT：

angle = 2 * acos(qw)
x = qx / sqrt(1-qw*qw)
y = qy / sqrt(1-qw*qw)
z = qz / sqrt(1-qw*qw)

当然，角度以弧度表示。计算 x、y 和 z 时，请注意除以零。这种情况会在没有旋转或非常小的旋转时发生，因此您应该测试角度是否 > epsilon，您会选择 epsilon 为一个非常小的角度（例如 1/10 度），如果是，则不计算向量是这样的。