Sympy - 简化域内的表达式答案

【问题标题】：Sympy - Simplify expression within domainSympy - 简化域内的表达式
【发布时间】：2020-07-13 18:57:11
【问题描述】：

Sympy 能否自动简化包含以下术语的表达式：

cos(x)/(cos(x)**2)**(1/2)

在我感兴趣的0 <= x <= pi/2的域中可以简化为1？

（可以在该域中简化的其他术语示例：acos(cos(x)); sqrt(sin(x)**2); sqrt(cos(2*x) + 1); 等等）

【问题讨论】：

标签： sympy simplify

【解决方案1】：

如果你知道你的表达式中有哪些函数（如sin、cos和tan），你可以根据这个stack overflow question做如下操作：

from sympy import *

x = symbols("x", positive=True)
ex = cos(x)/(cos(x)**2)**(S(1)/2)
ex = refine(ex, Q.positive(sin(x)))
ex = refine(ex, Q.positive(cos(x)))
ex = refine(ex, Q.positive(tan(x)))
print(ex)

请注意，Q.positive(x*(pi/2-x)) 在简化三角函数的过程中没有帮助，尽管这正是您通常想要的。

但是，如果您可能拥有像 polygamma 这样的疯狂函数怎么办？根据我的理解，以下适用于ex 的一些任意选择。

如果之前SymPy已经生成了表达式，那也没有问题，但是如果你手动输入表达式，我建议使用S(1)/2或Rational(1, 2)来描述一半。

from sympy import *

# define everything as it would have come from previous code
# also define another variable y to be positive
x, y = symbols("x y", positive=True)
ex = cos(x)/(cos(x)**2)**(S(1)/2)

# If you can, always try to use S(1) or Rational(1, 2)
# if you are defining fractions.
# If it's already a pre-calculated variable in sympy, 
# it will already understand it as a half, and you 
# wouldn't have any problems.
# ex = cos(x)/(cos(x)**2)**(S(1)/2)

# if x = arctan(y) and both are positive,
# then we have implicitly that 0 < x < pi/2
ex = simplify(ex.replace(x, atan(y)))
# revert back to old variable x if x is still present
ex = simplify(ex.replace(y, tan(x)))
print(ex)

这个技巧也可以用来定义其他范围。例如，如果你想要1 < x，那么你可以有x = exp(y) where y = Symbol("y", positive=True)。

我认为 subs() 也可以代替 replace() 工作，但我只是喜欢强制替换，因为 SymPy 有时会忽略 subs() 命令来处理某些变量类型，例如列表和其他东西。

【讨论】：

如果我输入例如不起作用“ex = Abs(sin(x))”，应该简化为 sin(x)。相反，我得到“tan(x)*Abs(cos(x))”，这可能不太简单。
@BernardoCosta 如果您特别知道您只需要处理预先选择的功能，我更新了处理这些事情的答案。我不认为 SymPy 目前能做得比这更好。
这对我现在认为已解决的问题有很大帮助。非常感谢！
然而，类似“ex = Abs(sin(x) + cos(x))”的东西仍然不能简化为“sin(x) + cos(x)”。所以我想仍然需要大量的手工工作才能涵盖所有情况。

【解决方案2】：

您可以替换具有您想要的假设的符号：

In [27]: e = cos(x)/(cos(x)**2)**(S(1)/2) + cos(x)                                                                     

In [28]: e                                                                                                             
Out[28]: 
            cos(x)   
cos(x) + ────────────
            _________
           ╱    2    
         ╲╱  cos (x) 

In [29]: cosx = Dummy('cosx', positive=True)                                                                           

In [30]: e.subs(cos(x), cosx).subs(cosx, cos(x))                                                                       
Out[30]: cos(x) + 1

【讨论】：

感谢您的回答。它非常有用，但仍然不能解决我的问题，考虑到如果表达式略有变化，例如：(cos(x)+1)/(cos(x)**2)**(1/2) ，那么它就不能隔离出“cos(x)/(cos(x)**2)**(1/2)”部分并简化为1+1/(cos(x)**2)**( 1/2) 也不是 1+1/cos(x)。
我尝试了e = (cos(x)+1)/(cos(x)**2)**(S(1)/2)，它成功了。我用apart(e.subs(cos(x), cosx).subs(cosx, cos(x))) 得到1 + 1/cos(x)。注意S(1)/2 而不是1/2
这再次有帮助，但是我必须简化太多三角函数（例如 acos(cos(x)); sqrt(sin(x)**2); sqrt(cos(2 *x) + 1); etc.) 只能在 x 的某个域内简化，事情很快就会变得混乱。我认为除了“否定”或“肯定”之外，没有自动将域分配给 x 的方法。
没有一种通用的方式来表达等式中的假设。它的目的是通过新的假设和refine(expr, (0 <= x) & (x<= pi /2)) 之类的东西来实现这一点，但这还没有实现。