证明有限字母表上所有语言的集合是不可数的答案

【问题标题】：Prove that the set of all languages over a finite alphabet is uncountable证明有限字母表上所有语言的集合是不可数的
【发布时间】：2011-06-06 21:09:20
【问题描述】：

试图做一些修改，但不确定这一点：

证明有限字母表上所有语言的集合是不可数的。

我感觉它需要使用 Cantor Diagonalization 方法 - 但我不确定你将如何使用它来解决这个问题。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我在计算理论课上发现了这个证明，希望对你有用

|N|

假设 |N| >= |语言(N)|。因此，languages(N) 的每一个元素都可以与 N 的一个元素相关联。所以它们可以被排序：

语言(N) = {S_1 , S_2, S_3, ...}

我们定义一个像这样的集合 D：

D = {n in N / n not in S_n}

D 有效且 D 是 N 的子集，因此 D 属于语言 (N)。因此，必须存在一个k，其中 D = S_k

1) 如果k属于D，那么根据D的定义，k不属于S_k。而 k 不属于 D 因为 D = S_k（我们发现矛盾）

2) 如果 k 不属于 D 那么：k 属于 S_k（根据 D 的定义）并且 k 属于 D 因为 D = S_k（又是矛盾）

不可能存在像假设那样的序列。因此，为语言（N）的每个元素分配 N 元素的单射函数是不可能的。结论 |languages(N)| ! |N|

【讨论】：