匹配算法 (Java)答案

【问题标题】：Matching Algorithm (Java)匹配算法 (Java)
【发布时间】：2016-02-19 13:38:46
【问题描述】：

我正在编写一个算法来匹配不同群体的学生。每组名额有限。每个学生提供他们的前 5 组选择。然后将学生按预定顺序分组（年龄较大的学生和出勤率高的学生优先级更高）。组不需要完全填满，但不能通过容量填满。

我研究过类似的婚姻问题，例如 Gale-Shapely 稳定婚姻算法，但我遇到的问题是组比学生少得多，每个组可以接受多个学生。

实现这种算法以找到一个完全优化的解决方案的最佳方法是什么，使得学生分组没有更好的安排？在算法复杂度方面，我将大约 600 名学生分成 10-20 个小组。

【问题讨论】：

每个小组的学生人数必须相等吗？
什么是数学上最完美的？如果学生 A 的优先级高于学生 B，那么 A 的第 2 选择和 B 的第 3 选择的安排是否比 A 的第 1 选择和 B 的第 5 选择更好？
没有“数学上最完美的”。您需要一些评估给定安排的功能。也就是说，如果你定义这个函数是线性的，那么这是一个（整体）线性程序：en.wikipedia.org/wiki/Linear_programming 应该有 Java 库。如果您在制定不等式方面需要帮助，我可以提供帮助，但我想先看看您是否对该方法感兴趣。
@nafas 每个组都有最大容量，但这些容量因组而异。任何组都不能完全填满，但不能超过其容量。
@Aziuth 也许我的措辞并不完全准确，但我的印象是（至少根据稳定的婚姻问题）总有稳定的婚姻存在。我正在寻求一个完全优化的解决方案，以便没有更好的学生安排。

标签： java algorithm optimization stable-marriage

【解决方案1】：

NB 接近的投票是非常错位的。解决模棱两可问题的算法选择和设计绝对是编程的一部分。

我认为最小权重二分匹配比稳定婚姻（也称为匈牙利方法或算法或最大权重匹配，它可以通过否定权重为您提供最小权重匹配）更进一步。

您要与学生匹配职位。所以二部图中的两种节点类型就是这些。

算法的最简单语句需要一个完整的加权二分图，每个集合中的节点数相等。你可以把它想象成一个方阵。权重是元素。行是学生。列是位置。

该算法将从每一行/列中选择一个元素，以使总和最小化。

@nava 的提议基本上是 MWBM 的贪婪版本，不是最优的。真正的匈牙利算法会给你一个最优的答案。

处理职位比学生少的事实很容易。根据需要向“真实”位置添加尽可能多的“虚拟”位置。将所有这些连接到所有具有超高权重边缘的学生。只有在所有真实位置都匹配后，算法才会选择它们。

诀窍是选择边缘权重。让我们将一个学生称为第 i 个学生的位置 O_i 的序数。然后让 R_ip 是同一个学生在第 p 位上的排名。最后，W_ip 是连接第 i 个学生和第 p 个位置的边的权重。你会想要这样的东西：

W_ip = A * R_ip + B * O_i

您可以选择 A 和 B 来指定学生偏好的相对重要性以及他们的排名顺序。听起来顺序很重要。因此，在这种情况下，您希望 B 足够大以完全覆盖学生的排名。

A = 1, B = N^2, where N is the number of students.

一旦实现工作正常，调整参数以查看有多少学生获得什么偏好等实际上很有趣。您可能需要稍微调整参数以放弃一点顺序。

在我从事这个工作的时候（90 年代末），我能找到的唯一开源 MWBM 是一个古老的 FORTRAN 库。这是O（N ^ 3）。它在几秒钟内处理了 1,000 名学生（选择核心学术课程）。我花了很多时间编写一个花哨的 O(N^2 log N) 版本，结果在 N=1000 时慢了大约 3 倍。它只是在大约 5,000 时才开始“获胜”。

现在可能有更好的选择。

【讨论】：

看起来很棒！将尝试实现这一点。

【解决方案2】：

我会修改背包问题 (Knapsack problem, wikipedia) 以使用 K 个组（背包）而不是一个组。您可以为他们的偏好分配“价值”，点数将是背包的最大“重量”。有了这个，您可以回溯以检查问题的最佳解决方案。

我不确定您需要解决问题的效率有多高，但我认为这会奏效。

【讨论】：

你提出了一个有趣的概念。我还不完全相信你的解决方案最适合这个问题，但在确认这一点之前我会做更多的研究。

【解决方案3】：

数学上最完美的

非常基于意见。

简单（几乎）总是获胜。 here

这是一个伪代码：

students  <-- sorted by attendance

for i=0 to n in students:
   groups <-- sorted by ith student's preference
   for  j=0 to m in groups:
     if group j has space then add student i to group j; studentAssigned=true; break;

   if studentAssigned=false;
     add i to unallocated

for i=0 to k in unallocated 
  allocate i to a random group that is not filled

【讨论】：

【解决方案4】：

对于每个组：

创建一个有序集合并添加所有学生（您必须设计启发式方法，它将对集合内的学生进行排序，如果该组在他们的选择范围内，则可以是出勤率乘以 1，否则为 0）。
将第 n 个学生填满小组

但是有些细节你没有解释。例如，如果有学生因为与其他优先级更高的学生一起填满而无法进入他们的 5 个选择中的任何一个，会发生什么情况？

【讨论】：

为每个学生分配一个启发式值是我需要尝试的一个公式，但为了我的问题，我们可以假设所有学生都将被分组。他们可能必须对 7 个组或 10 个组进行排名以确保这一点。