我们有一条射线，它从点 A(X, Y) 开始，一直持续到给定点 B(X, Y) != A。我们有一个由点 @987654323@ 定义的矩形，每个点都有其 (X, Y)。
我想知道如何检测我们的光线是否与矩形的任何点相交（获取bool，而不是精确坐标）？计算这个值的算法是什么？
【问题讨论】：
标签： algorithm math geometry 2d
让我直说。你有一个向量v 朝(b_x - a_x, b_y - a_y) 方向前进，并从(a_x, a_y) 开始。
考虑向量w = (b_y - a_y, a_x - b_x)。它与第一个成直角。 （使用点积进行验证。）因此，对于任何点 (p_x, p_y)，您可以通过将 (p_x - a_x, p_y - a_y) 与 w 的点积并查看符号来轻松判断它位于向量的哪一侧。
因此，用矩形的所有 4 个角取那个点积。如果任何一个给出一个 0 点积，它们就在向量上，如果符号改变有一个交集，如果符号始终相同则没有交集。
【讨论】：
A 的左侧，则矩形可能与AB 相交，但不会与光线相交。
p_i - a 为正数来解决。
您可以使用扫描线算法来做到这一点。
【讨论】：
一种不太聪明但概念上更简单的方法：当且仅当射线与矩形的至少一个边相交时，它才与矩形相交。因此，对于矩形的每一边，找到通过端点的线与射线 AB 的交点（如果有的话）；那么它只是一个范围检查，以确定该交点是否位于矩形边界上的线段的一部分，或者它是否在外部。
【讨论】：
您可能想要计算与矩形相交的射线AB 的线段（如果有）。如果你的矩形是轴对齐的，这在数字意义上会更容易计算，但逻辑应该是相似的。
您可以将有向线L 表示为[a, b, c]，这样，如果点P 是(X, Y)：
let L(P) = a*X + b*Y + c
then, if L(P) == 0, point P is on L
if L(P) > 0, point P is to the left of L
if L(P) < 0, point P is to the right of L
请注意，这是多余的，因为给定任何k > 0，[k*a, k*b, k*c] 代表同一行（此属性使其成为@ 987654321@)。我们还可以通过用第三个坐标增加它们来表示具有齐次坐标的点：
2D point P = (X, Y)
-> homogeneous coordinates [x, y, w] for P are [X, Y, 1]
L(P) = L.a*P.x + L.b*P.y + L.c*P.w == a*X + b*Y + c*1
在任何情况下，给定矩形的两个角（例如，P 和 Q），您可以使用 3-D 叉积计算通过 P 和 Q 的直线的齐次坐标它们的齐次坐标：
homogeneous coordinates for line PQ are: [P.X, P.Y, 1] cross [Q.X, Q.Y, 1]
-> PQ.a = P.Y - Q.Y
PQ.b = Q.X - P.X
PQ.c = P.X*Q.Y - Q.X*P.Y
您可以在数学上验证点 P 和 Q 都在上述线 PQ 上。
要表示与矩形相交的线段AB，首先计算向量V = B - A，如@btilly 的答案。对于齐次坐标，其工作原理如下：
A = [A.X, A.Y, 1]
B = [B.X, B.Y, 1]
-> V = B - A = [B.X-A.X, B.Y-A.Y, 0]
for any point C on AB: homogeneous coordinates for C = u*A + v*V
(where u and v are not both zero)
仅当u 和v 都为非负时，点C 才会位于直线的射线部分。 （与C = A + lambda * V 的通常表述相比，这种表示可能看起来晦涩难懂，但这样做可以避免不必要的被零除的情况......）
现在，我们可以计算射线的交点：我们用每个端点的参数 [u,v] 坐标表示线段 AB：{ start = [start.u, start.v]; end = [end.u, end.v] }。
我们以逆时针方向计算矩形的边缘，因此矩形内的点位于每条边缘的左侧/正侧 (L(P)>0)。
Starting segment is entire ray:
start.u = 1; start.v = 0
end.u = 0; end.v = 1
for each counterclockwise-directed edge L of the rectangle:
compute:
L(A) = L.a*A.X + L.b*A.Y + L.c
L(V) = L.a*V.X + L.b*V.Y
L(start) = start.u * L(A) + start.v * L(V)
L(end) = end.u * L(A) + end.v * L(V)
if L(start) and L(end) are both less than zero:
exit early: return "no intersection found"
if L(start) and L(end) are both greater or equal to zero:
do not update the segment; continue with the next line
else, if L(start) < 0:
update start coordinates:
start.u := L(V)
start.v := -L(A)
else, if L(end) < 0:
update end coordinates:
end.u := -L(V)
end.v := L(A)
on normal loop exit, the ray does intersect the rectangle;
the part of the ray inside the rectangle is the segment between points:
homog_start = start.u * A + start.v * V
homog_end = end.u * A + end.v * V
return "intersection found":
intersection_start.X = homog_start.x/homog_start.w
intersection_start.Y = homog_start.y/homog_start.w
intersection_end.X = homog_end.x/homog_end.w
intersection_end.Y = homog_end.y/homog_end.w
请注意，这适用于任意凸多边形，而不仅仅是矩形；上面其实是一个通用的射线/凸多边形相交算法。对于矩形，您可以展开 for 循环；而且，如果矩形是轴对齐的，则可以大大简化算术。但是，内部循环中的 4-case 决策应该对每条边保持相同。
【讨论】：