放置一个点以最小化与最远点的距离答案

【问题标题】：Placing a point to minimise distance from the farthest point放置一个点以最小化与最远点的距离
【发布时间】：2012-07-02 23:33:38
【问题描述】：

我有一个问题，

给定一组点，如何在距离最远点的距离尽可能小的约束下放置一个点？

这是参考this问题。我不知道该怎么做。有人指点吗？

谢谢

【问题讨论】：

【解决方案1】：

_{如果上面的链接失效，下面是描述最直接方法的相关部分：}

O(n2) 时间算法

在中心 c 处画一个圆，使得给定集合的点位于圆内。显然，这个圈子可以做得更小（否则我们有办法）。
通过找到距离圆心最远的点 A 来缩小圆，并以相同的中心绘制一个新的圆并通过点 A。这两个步骤产生一个更小的封闭圆。新圆较小的原因是这个新圆仍然包含给定集合的所有点，除了现在它通过最远的点 x，而不是包围它。
如果圆通过 2 个或更多点，则继续执行第 4 步。否则，通过将圆心移向 A 点来缩小圆，直到圆与集合中的另一个 B 点接触。
在这个阶段，我们是一个圆 C，它通过给定集合的两个或多个点。如果圆包含的弧的间隔（无点间隔）大于圆的周长的一半，并且没有点位于该圆弧上，则可以使圆更小。令 D 和 E 为该无点区间末端的点。在将 D 和 E 保持在圆的边界上的同时，减小圆的直径，直到出现情况 (a) 或情况 (b)。
- 案例 (a) 直径是距离 DE。
  - 我们完成了！
- 案例 (b) 圆 C 接触集合中的另一个点 F。
  - 检查是否存在长度超过 C 周长一半的无点圆弧区间。
  - 如果没有这样的无点弧间隔退出 THEN 我们完成了！
- 其他
  - 转到第 4 步。
  - 在这种情况下，三个点必须位于长度小于圆周一半的弧上。我们在弧上三个点中的外部两个重复第 4 步。

这里的另一个页面，带有一个示例小程序： http://www.sunshine2k.de/stuff/Java/Welzl/Welzl.html

【讨论】：

【解决方案2】：

你需要使用Voronoi diagram，可能是Farthest-Point Voronoi图，其中平面被划分为区域，同一区域中的点具有相同的最远点

更新

你需要先构建一个最远点voronoi图，时间为O(nlogn)，并找到所有顶点（如果圆是由三个点定义的）和所有边中最小的圆的中心（如果圆由两点定义）。这种方法的总时间复杂度是 O(nlogn)

我刚看到Smallest circle problem wiki 页面，好像有一个O(n) 时间算法。如果你关心速度，你可以检查一下，否则没关系。

【讨论】：