巴比伦方法的时间复杂度答案

【问题标题】：Time complexity for Babylonian Method巴比伦方法的时间复杂度
【发布时间】：2012-09-06 22:36:43
【问题描述】：

巴比伦方法的时间复杂度是多少？是 log(n)，其中 n 是我们想要找到平方根的数字吗？如果是这样，为什么会这样？

【问题讨论】：

我觉得这个来源可能是你想要的，它谈到了Newton's Method，这是巴比伦方法等算法的基础。
@kurtzbot 从历史上看，说巴比伦的方法是基于牛顿的方法是相当可笑的。
哈哈，抱歉，不是故意引起混淆的。我记得学过这个，不得不做一些谷歌搜索来刷新我的记忆。如果我错了，请纠正我。
除非你的意思是因为名字很有趣，而不是数学上。在这种情况下，我同意：P
@kurtzbot 我认为他的意思是这很有趣，因为据推测，巴比伦的方法比牛顿的方法早...数千？...年。

标签： performance algorithm big-o time-complexity

【解决方案1】：

查看the wikipedia section for the Babylonian method，我们可以看到步骤 k 的相对误差 e_k 满足方程 e_k-f(k )，其中 f(k) 递归定义如下：

f(1) = 2 和 f(k+1) = 2 * f(k) + 1 对于 n > 1

通过归纳，f(k) = 3 * 2^k-1 - 1

让 n 成为我们算法的输入，当我们确定总误差小于常数 m 时停止算法

第 k 步的误差 E_k 满足方程 E_k = e_k * n

因此算法将终止一次 e_k * n

这将发生在 2^f(k) > n/m 相当于 f(k) > log₂(n/m)

当 2^k-1 > (log₂(n/m) - 1)/3 当 k > log_{时，该等式成立2}((log₂(n/m) - 1)/3)+ 1

因此，算法将以 O(log(log(n/m)+1)) 步结束。

使用this logarithmic summation formula 可以证明 log(log(x)+c)) = O(log(log(x))。

因此巴比伦方法需要 O(log(log(n/m)) 步

【讨论】：

【解决方案2】：

我猜步骤是 O(log2(log to base E0 (m/n)) 其中 E0 是第零次迭代的误差，即当我们选择种子值时 m 是 ans 中允许的错误，n 是算法的输入。错误递归函数的完整解释可以参考这里：http://www.math.harvard.edu/library/sternberg/slides/lec1.pdf

【讨论】：