内循环只运行一次时嵌套循环的时间复杂度？

Question

我有以下代码并试图找出它的时间复杂度：

int sum(int m, int n, int K) {
    int s = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        s += i;
        if (i == K % 2) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                s += j;
            }
        }
    }
    return s;
}

根据代码，外循环运行时间为 O(n)，内循环运行时间为 O(m)。但是，内部循环只执行一次（当i 等于K % 2 时）。我不确定它只运行一次的时间复杂度是 O(nm) 还是 O(n + m)。目前，我怀疑复杂性应该是 O(n + m)。谁能帮我解释一下这个案例？

Answer 1

是 O(m + n)，因为内部循环只运行一次。

您通常将内循环的 O(m) 复杂度乘以 n 的原因是因为通常执行内循环 n时间> 次。我们应该将每个操作的复杂性乘以它完成的次数。在这种情况下，O(m) 操作执行了一次，所以你应该乘以 1，而不是 n。

更具体地说，赋值 s += i; 和比较 i == K % 2 总共进行了 n 次，赋值 s += j; 进行了 m 次总计，因此总步数为 O(m + n)。没有执行mn次或mn次的任意倍数的操作。