我如何找到上述代码的时间复杂度

Question

 for(i=0; i<n; i++) // time complexity n+1
{
    k=1;   // time complexity n
    while(k<=n) // time complexity n*(n+1)
    {
    for(j=0; j<k; j++) // time complexity ??
     printf("the sum of %d and %d is: %d\n",j,k,j+k); time complexity ??
    k++;
}

上述代码的时间复杂度是多少？我停留在第二个（for），我不知道如何找到时间复杂度，因为 j 小于 k 并且不小于 n。

我总是遇到与时间复杂度相关的问题，你们有什么好的文章吗？ 特别是关于步数和循环。

Answer 1

来自问题：

因为j小于k且不小于n。

这完全是错误的，我想这是让你陷入困境的假设。我们知道 k 可以取什么值。在您的代码中，它的范围从 1 到 n（包括在内）。因此，如果 j 小于 k，它也小于 n。

来自 cmets：

我知道唯一的输入是 n，但第二个 for 取决于 k 而不是 n。

如果一个变量依赖于任何东西，它就依赖于输入。 j 依赖于 k，而 k 本身又依赖于 n，这意味着 j 依赖于 n。

但是，这不足以推断复杂性。最后，你需要知道printf被调用了多少次。

无论如何，外部的 for 循环都会执行 n 次。我们可以考虑这一点。

内部for循环的执行次数取决于k，在while循环中修改。我们知道 k 从 1 到 n 的每个值都只取一次。这意味着内部 for 循环将首先执行一次，然后执行两次，然后执行 3 次，以此类推，直到 n 次。

因此，丢弃外部 for 循环，printf 被称为 1+2+3+...+n 次。这个总和是众所周知且易于计算的：1+2+3+...+n = n*(n+1)/2 = (n^2 + n)/2。

最后，对printf 的调用总数为n * (n^2 + n)/2 = n^3/2 + n^2/2 = O(n^3)。这就是你的时间复杂度。

关于此类代码的最后说明。一旦您多次看到相同的模式，您很快就会开始认识到所涉及的复杂性。然后，当您看到这种带有因变量的嵌套循环时，您会立即知道每个循环的复杂性是线性的。

例如，在下面，f 被称为n*(n+1)*(n+2)/6 = O(n^3) 次。

for (i = 1; i <= n; ++i) {
    for (j = 1; j <= i; ++j) {
        for (k = 1; k <= j; ++k) {
             f();
        }
    }
}

Answer 2

首先，简化代码以显示主循环。所以，我们有一个结构：

for(int i = 0; i < n; i++) {
    for(int k = 1; k <= n; k++) {
        for(int j = 0; j < k; j++) {
        }
    }
}

外循环运行n * n 次，但您对这些信息无能为力，因为内循环的复杂性会根据您所处的外循环迭代而变化，所以它没有那么简单计算外部循环运行的次数并乘以其他值。

相反，我会发现从内循环开始，然后从最内层到最外层添加外层循环更容易。

• 最内层循环的复杂度为k。

• 对于中间循环，它是k 的总和（上面的复杂性），其中k = 1 to n。所以1 + 2 + ... + n = (n^2 + n) / 2。

• 使用外部循环，它完成了n 次，所以再乘以n。所以n * (n^2 + n) / 2。

化简后我们一共得到O(n^3)

Answer 3

上述代码的时间复杂度为：n x n x n = n^3 + 1+ 1 = n^3 + 2 3 个循环加上两个常数。由于 n^3 的增长率最高，因此可以忽略常数值，因此时间复杂度为 n^3。

注意：以每个循环为（n），并获得总时间，乘以每个循环中的（n）值。

希望这会有所帮助！