Dijkstra 算法和贪心策略

Question

我似乎有点难以理解贪婪策略的工作原理以及 Dijkstra 算法如何跟踪最短路径。作为参考，这里是 Dijkstra 算法的伪代码

DijkstrasAlgorithm(G, w, s)
    InitalizeSingleSource(G, s)
    S = 0
    Q = G.V
    while Q != 0
        u = ExtractMin(Q)
        S = S∪{u}
        for each vertex v ∈ G.Adj[u]
            Relax(u, v, w)

请考虑以下重量方向图。

有5个顶点：s、t、x、y、z 有 10 条边：

s->t = 3
s->y = 5
t->y = 2
t->x = 6
y->t = 1
y->x = 4
y->z = 6
x->z = 2
z->x = 7
z->s = 3

我们的目标是找到从 s 到 x 的最短路径。我的答案是长度为 9 的 s->t->y->x，我假设伪代码中的“S”是最短路径，并且将 minQ 中的每个 ExtractMin 添加到路径中。

然而，我的老师告诉我这是错误的。正确答案是 s->t->x，长度为 9。我们答案的不同在于是否包含 y。我的老师说既然s->t->x是“先找到”的，就不更新为s->t->y->x，就是等长了。

这让我很困惑。 Dijkstra 算法使用贪心策略，我认为贪心策略总是选择当时可用的最短路径。而当在 t->y 和 t->x 之间选择时，t->y 更短，因此应该选择。

我的问题是：

1) 贪心策略在什么情况下不会为最终结果选择最直接的最短路径？

2) 如果在 minQ 上使用 ExtractMin 不是我们跟踪从 s 到 x 的整体路径的方式，那么我们如何跟踪完整路径？

Answer 1

您的老师的回答假设我们按“最短优先，先见先断”的顺序探索路径。

首先，我们探索s->t，我们将x 以成本9 从s->t->x 放到“有一天”要探索的事物列表中。但我们首先探索s->t->y，因为它更短。在这一点上，我们看到s->t->y->x 是一个选项，成本也为 9。但是因为这不是一个改进，所以我们放弃了它。

因此，一旦我们到达长度为 9 的路径，我们会发现 s->t->x 出局，因为它首先进入队列。

如果您修改Relax 以保存可能的路径（如果它优于或等于迄今为止发现的最佳路径），您将得到答案。这将得到一个正确的答案。

至于路径是如何从末端提取出来的，每个节点都知道你是如何到达的。所以从头开始，沿着 cookie trail 倒过来找路径，然后倒过来得到实际路径。