求和函数递归实现的空间和时间复杂度答案

【问题标题】：Space and time complexity of recursive implementation of summation function求和函数递归实现的空间和时间复杂度
【发布时间】：2020-04-08 21:43:44
【问题描述】：

谁能建议以下代码的空间和时间复杂度？我知道时间复杂度应该是 O(n) 因为函数被调用 n 次，空间复杂度至少是 O(n) （因为堆栈空间），但是将 a[1:] 传递给函数会导致空间复杂度增加？我认为 a[1:] 会在省略第一个元素的同时创建 a 的新副本，对吗？

def sum(a):
    if len(a) == 1:
        return a[0]
    return a[0] + sum(a[1:])

【问题讨论】：

" 我知道时间复杂度应该是 O(n)，因为函数被调用了 n 次，" 不是。当然，该函数被调用 N 次，所以它至少 O(N)...但是您正在函数中执行某些操作，不是吗？这不是恒定的时间。所以它不会是 O(N)...所以是的，你是对的 a[1:]。结果是你的时间复杂度是 O(N**2)

标签： python performance recursion time-complexity space-complexity

【解决方案1】：

作为递归函数，如果没有应用tail-call 优化，考虑到它在内存堆栈上的执行，在这种情况下它肯定会有至少O(n) 的空间复杂度。但是让我们进一步分析一下：

时间复杂度

我们知道 sum 是递归的，它的停止条件是输入数组是单长度的。所以我们知道，考虑到大小为n 的输入数组，在最坏的情况下Sum 将至少被调用O(n) 次。考虑一下递归是什么，即。例如，一个循环。

然而，在函数内部，我们有一个切片操作。切片操作l[a:b]是O(b-a)，所以这个操作第一次运行的复杂度为O(n-1)，第二次运行的复杂度为O(n-2)，以此类推。我们最初认为，它将执行整个数组的副本。这个函数的总体时间复杂度应该是O(n^2)，因为它会在大小为n 的数组中为每个项目创建一个切片。

空间复杂度

现在谈谈内存中的空间。

len(a) == 1

这里我们有一份来自 len(a) 的返回值的副本。

return a[0]

    return a[0] + sum(a[1:])

在上面的两行中，我们将有一个值的另一个副本，该副本将存储到函数的返回地址中。该切片还具有O(n) 空间复杂度。

看到这一点，考虑到编译器没有应用重大优化，例如reduction，我们说这个函数的空间复杂度是O(n)，因为它会产生一个常量每个输入的副本数 AND 将在大小为 n 的数组中执行切片操作。

由于我们一开始就说过递归就像一个循环，考虑到没有尾调用优化，整个函数将在最坏的情况下执行n 次。程序将增加函数的内存堆栈，直到它达到停止条件，直到它最终可以从调用堆栈中“弹出”返回值。因此，总空间复杂度也是O(n*log n)（因为每次执行输入数组都更小）。

附言：

根据this，我还认为len(a) 的时间复杂度为O(1)。

【讨论】：

" 第一次运行的复杂度为 O(n-1)，第二次运行的复杂度为 O(n-2)，依此类推。我们认为原始地，它将执行整个副本数组。由于摊销因子，此函数的时间复杂度应为 O(n*log n)。我不跟。在我看来，对于给定的大小序列N，您创建大小为N-1, N-2, ..., 3, 2, 1 的切片，您有n*(n-1)/2 所以O(N^2) 在第一次调用时说它的复杂度为O(N-1)，第二个的 O(N-2) 不正确。

【解决方案2】：

时间复杂度类似于 theta(n^2) ，因为每次执行 a[i:] 时，您基本上都是从 i 复制列表到末尾，因此您必须遍历它。至于空间复杂度，应用程序堆栈将包含您将调用的所有列表，首先是一个包含 n 个元素的列表，然后是 n-1，依此类推，直到 1，您将开始清空堆栈。所以你最终也会得到一个 theta(n^2) 的复杂度。

【讨论】：