递归算法的时间和空间复杂度

Question

将n 转换为其英文单词表示，其中 0 n

Python 解决方案：

class Solution:
    def helper(self, n):
        ones = ['', 'One', 'Two', 'Three', 'Four', 'Five', 'Six', 'Seven', 'Eight', 'Nine']
        teens = ['Ten', 'Eleven', 'Twelve', 'Thirteen', 'Fourteen', 'Fifteen', 'Sixteen', 'Seventeen', 'Eighteen', 'Nineteen']
        tens = ['', '', 'Twenty', 'Thirty', 'Forty', 'Fifty', 'Sixty', 'Seventy', 'Eighty', 'Ninety']

        res = ''
        if n < 10:
            res = ones[n]
        elif n < 20:
            res = teens[n - 10]
        elif n < 100:
            res = tens[n // 10] + ' ' + self.helper(n % 10)
        elif n < 1000:
            res = self.helper(n // 100) + ' Hundred ' + self.helper(n % 100)
        elif n < 1000000:
            res = self.helper(n // 1000) + ' Thousand ' + self.helper(n % 1000)
        elif n < 1000000000:
            res = self.helper(n // 1000000) + ' Million ' + self.helper(n % 1000000)
        return res.strip()


    def convert_to_word(self, n):
        if n == 0:
            return 'Zero'
        return self.helper(n)

我一直在尝试计算这个解决方案的时间和空间复杂度。我看到了不同的答案。有人说时间复杂度是 O(1)，因为辅助函数被调用的次数是固定的（即使 n 是一个很大的数）。其他人说它是 O(log(n))。

空间复杂度好像是O(1)？

我很困惑。请帮我澄清一下。谢谢。

Answer 1

在大于 1000000000 的所有输入 n 上，该函数立即返回一个空字符串，无需任何计算或递归调用。因此，时间复杂度当然是 O(1)，空间复杂度也是如此（因为较小的 n 发生的情况完全不相关）。

如果您删除该行，情况会有所不同并且更有趣

elif n < 1000000000

所以对于大的n，你会得到一个（实际上）无限的结果字符串，其中包含无限数量的Million-子字符串（忽略整数在真实计算机上具有最大大小的事实，并忽略以下事实：你会得到无意义的数字词）。在这种情况下，您将获得时间复杂度O(log(n)^2)（因为您要连接长度为O(log n) 的字符串O(log n)）和空间复杂度O(log n)（因为递归调用的调用堆栈）。通过更有效地处理字符串连接，时间复杂度可以轻松降低到O(log n)。

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一些补充说明

从 cmets 看来，为什么时间复杂度为 O(1) 并不明显。如果我们说时间复杂度T(n)在O(1)，那就意味着存在一个常数c和一个常数k 这样对于所有 n > k，T(n) .

在这个例子中，选择c = 9 和k = 0 可以解决问题，或者选择c = 1 and k = 1000000000，因此时间复杂度为 O(1)。现在还应该清楚的是，以下函数也是 O(1)（尽管隐藏常数因子非常大）：

void f(int n) {
   if (n < 1000000000) {
      for(int i = 0; i < n; i++) { 
         for(int k = 0; k < n; k++)
            print(i); 
      }
   }
   else print("");
}