如何确定时间复杂度是 O(m + n) 还是 O(Math.max(m, n))

【问题标题】：How to determine if the time complexity is O(m + n) or O(Math.max(m, n))如何确定时间复杂度是 O(m + n) 还是 O(Math.max(m, n))
【发布时间】：2017-07-25 00:56:31
【问题描述】：

我正在查看这段代码，但我很难理解它是 O(m + n) 而不是 O(Math.max(m, n))。还是 O(Math.max(m, n)) 下的 O(m + n) 无论如何？

 int i = 0, j = 0, res = 0;
    while (i < houses.length) {
        while (j < heaters.length - 1
            && Math.abs(heaters[j + 1] - houses[i]) <= Math.abs(heaters[j] - houses[i])) {
            j++;
        }
        res = Math.max(res, Math.abs(heaters[j] - houses[i]));
        i++;
    }

CTCI 上有一个例子，函数返回一个 n 大小的数组。它说，由于 n > logn，在计算大 O 时，由于堆栈调用导致的 log(n) 空间复杂度相形见绌，导致总体上为 O(n)。这个例子中没有提到 O(n + logn)（好奇的人是 4.4）。

任何解释将不胜感激！

【问题讨论】：

简单来说，m + n <= Math.Max(m,n) + Math.Max(m,n) = O(Math.Max(m,n));因此结果。

标签： java performance time time-complexity space-complexity

【解决方案1】：

正如您已经猜到的那样，在 Big-O-Notation 下，两者相同。

m + n 和 max(m, n) 这两个函数都是集合 O(m + n) = O(max(m, n) 的元素。

让我们算一下：

m + n <= max(m, n) + max(m, n) = 2 * max(m, n) 和max(m, n) <= m + n 只要min(m, n) >= 0 （但是m, n >= 0 已经）

所以两个函数都受另一个函数的限制（加上一个常数因子），因此O(m + n) 或O(max(m, n))，集合是相等的。

这是正式的（一维）定义（来自Wikipedia）：

直观地说，它也有意义，因为这两个函数只是意味着两个变量的线性增长，仅此而已。

[...] 总体结果为 O(n)。没有提到 O(n + logn) [...]

我不确定这是否是一个问题。请注意，这两个集合再次与 n <= n + log(n) 和 n + log(n) <= n + n = 2 * n 相同，linear in n。

【讨论】：