完整图中最小顶点覆盖的基数是多少？

Question

我有一个包含 n 个顶点的完整图。完整图的 MinimumVertexCover 是 n-1。我可以取小于 n-1 作为 MinimumVertexCover ?如果答案是否，请用证明解释一下？

Answer 1

答案是否定的。

我认为证明它的最简单方法是通过加莱的结果。回想一下，一组独立的顶点是两个顶点共享一条边的顶点。现在加莱定理说：

α(G)+β(G)=n

在哪里，

α(G)= 最大独立集的大小， β(G)=最小顶点覆盖的大小，和 n=

G 中的顶点数。

现在很明显 α(Kn)=1 因为 Kn 中的一组两个顶点不是独立的。因此，根据需要，β(G)=n-1。