二分图中最小顶点覆盖的算法

Question

我正在尝试找出一种算法来找到二分图的最小顶点覆盖。

我正在考虑一个解决方案，将问题减少到二分图中的最大匹配。众所周知，可以使用从 bip 创建的网络中的最大流量来找到它。图表。

最大匹配 M 应确定最小值。顶点覆盖C，但我无法处理选择顶点来设置C。 比方说比普。图有 X、Y 部分，作为最大匹配边的端点的顶点在集合 A 中，不属于 B 的顶点。

我会说我应该为 M 到 C 中的一条边选择一个顶点。 特别是 M 中边 e 的端点连接到集合 B 中的顶点，否则如果它仅连接到 A 中的顶点，则无关紧要。 不幸的是，这个想法通常不起作用，因为我的算法可以找到反例，因为 A 中的顶点也可以通过 M 中包含的其他边连接。

如有任何帮助，将不胜感激。

Answer 1

Kőnig's theorem 证明正是这样做的 - 从二分图中的最大匹配构建最小顶点覆盖。

假设您有G = (V, E) 一个二分图，分隔在X 和Y 之间。

正如您所说，首先您必须找到最大匹配（例如，可以使用Dinic's algorithm 来实现）。我们将这个最大匹配称为M。

然后构造你的最小顶点覆盖：

• 在X¹中找到U不匹配顶点的集合（可能为空），即。未连接到M 中的任何边
• 在U 中构建Z 集合或顶点，或通过交替路径（在M 的边和不在M 中的边之间交替的路径）连接到U
• 那么K = (X \ Z) U (Y ∩ Z)是你的最小顶点覆盖

Wikipedia 文章详细介绍了如何证明 K 确实是最小顶点覆盖。

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¹或者Y，都是对称的