这两个循环的时间复杂度是多少？

Question

对于这两个 while 循环，我想弄清楚大 O 复杂度。没有详细给出这些选项：（O（log N），O（sqrt（N），O（N），O（N log N），O（N·N）。这是一个古老的考试问题，我找不到答案。

问题 1

int i, j = N;
while (i < j) {
  i += 2 * j + 1;
  j++;
} 

问题 2

int i = 1, j = N;
while (i < j) {
  i += i;
  j--;
}

第一个的答案应该是 O(N·N)，第二个的答案应该是 O(log(N))。如果有人能解释答案，那就太好了。

Answer 1

第一个，如果 i>=j，它是 O(1)。如果 i 和 j 是正数，它将循环一次，并结束 O(1)。

如果 i 为负而 j 不是 (>= 0)，您会看到 i 从 i 缓慢增长到 0，然后当 i 为正时，循环停止。在这种情况下，i 至少增长了 N/2。

如果 i 和 j 都是非常大的负数，则 i 将变得更负，直到 j 达到 0。在此期间，i 将变得更负，至少每次 abs(j)，即 O(N * N)。当 j 达到 0 时，已经是 O(N * N)，所以即使 j==0 时确实很快，但答案应该是 O(N * N)。

对于最后一种情况，我遵循如下序列（假设 Z 是大于 abs(N) 的正数）：

-Z, -Z-2Z+1, -Z-2Z+1-2(Z-1)+1, -Z-2Z+1-2(Z-1)+1-2(Z-2 )+1 .... (直到 j 达到 0).. 然后达到一些最大负数的粗略大小 Z 的平方 (比如 W).. 然后变成 W+2+1, W+2+1+4+1 , W+2+1+4+1+6+1 ... 直到 i>j.

因此，在所有情况下，第一个问题都是 O(N*N)。

第二个每次都将 i 翻倍，O(log N) 也是如此。想象一下，如果 j 是一个非常大的数字 1000000，并且 i = 1。所以 (i, j) 将是 (2, 999999), (4, 999998), (8, 999997, (16...) (32, ) (64, ) (128, ) (256, ) (512, ) (1024, ) (2048, ) (4096, ) (8192, ) (16384, ) (32768, ) (65536, ) (131092, ) (262144 , ) (524288, 999981)，共 19 步。

Answer 2

问题 1

您没有为i 指定值，因此对于一般情况实际上无话可说。

但是，如果我们假设i 不依赖于N，那么运行时是O(1)。

解释

对于大-N 限制：

• i 每次迭代都会增长 2N。
• j 近似不变。
• i 需要成长为 N。
• 因此需要O((N - i_0) / 2N) = O(1)时间。

这也直接说明如果i_0是N的函数f(N)，则运行时为O(f(N)/N)。

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问题 2

运行时是O(log N)。

扩展

对于大-N 限制：

• i 每次迭代加倍。
• j 近似不变。
• i 需要成长为 N
• 因此，它需要O(log(N-i_0)) = O(log N) 时间。

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最后一点，根据问题中O(log N) 中N 的用法，此问题假定N 为正数。

Answer 3

在问题 1 中，由于 i 和 j 都被初始化为 N。while 循环不会执行。因此，O(1)。

第二个问题就是 O(logN)，因为 i 每次迭代都会加倍。