递归关系与 n 成反比答案

【问题标题】：recurrence relation dependent inversly on n递归关系与 n 成反比
【发布时间】：2013-09-06 17:35:38
【问题描述】：

我最近学会了通过矩阵求幂找出第 n 个斐波那契数列。但我被困在两个关系上：

1) F(n) = F(n−1) + n            
2) F(n) = F(n−1) + 1/n

有没有什么有效的方法来解决这些问题 O（登录）时间就像我们有矩阵博览会。斐波那契数列？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

第一个显然等于：

F(n) = F(0) + n*(n+1)/2

并且可以在 O(1) 时间内计算。第二个，看here。

假设您想使用矩阵求幂来计算第一个，就像使用斐波那契数列一样，这是您应该使用的矩阵：

    | 1 1 0 |
A = | 0 1 1 |
    | 0 0 1 |

如果考虑以下等式，矩阵的选择是显而易见的：

| F(n+1) |   | 1 1 0 |   | F(n) |
|  n+1   | = | 0 1 1 | * |  n   |
|   1    |   | 0 0 1 |   |  1   |

当然，起始向量必须是：(F(0), 0, 1)。

对于第二个系列，这并不容易，因为您需要逐渐计算值1/n，而不能以这种方式线性计算。我想这是做不到的，但我不会试图证明这一点。

【讨论】：

链接告诉你第二个有F(0)+H_n的解，其中H_n是第n次谐波数。但这并没有太大帮助，因为第 n 次谐波数正是我们正在查看的总和。我认为没有有用的公式。
正如你指出的第一个递归，我想知道它是否也可以通过矩阵求幂来解决，如果不能解决，它可以解决哪些“类型”的递归关系。
好的，假设您想尝试以与计算斐波那契相同的方式计算它们...我会在短时间内更新我的答案。
链接声明 Psi(n)=log(Gamma(n))，所以 F(n) = log(n!)-log(1)，这是不正确的。您可以通过对积分 $\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}\,dx$ 进行任意精度的数值计算来近似它，而无需遍历较大的 n 值。

【解决方案2】：

第一个可以用O(1)计算，因为这是一个算术级数，总和是n*(n-1)/2。

第二个是harmonic series，无法高效计算，但可以在O(1)中近似：

第一个是0.57721566490153286060，第二个大约是1/(2k)

【讨论】：