具有最小最大边权重的路径答案

【问题标题】：Path with least maximum edge weight具有最小最大边权重的路径
【发布时间】：2014-10-14 06:37:43
【问题描述】：

假设我们有一个有向非负加权图。

我们必须在 (u, v) 之间找到成本最低的路径。路径的成本定义为路径包含的第二个最昂贵的边的最大成本。

这是一个例子。

具有 4 个节点和 4 条边的图：

从 1 到 2，成本为 3
从 1 到 3，成本为 7
从 2 到 3，成本为 5
从 3 到 4，成本为 2

1 到 4 之间的最优路径应该是 1 - 3 - 4，总成本为 2（成本为 2 和 7，第二高的是 2）。

Dijkstra 标准 SSSP（重建路径并找到第二高边）显然不起作用。我在 MST 考虑过（应该没问题），但不能保证覆盖最佳路径 (u,v)。

【问题讨论】：

这里没有任何解决方案的尝试，因此您不太可能得到响应...尝试自己解决，然后如果您遇到问题，请回来寻求帮助。并不是说您需要代码，但至少对如何解决问题有一些了解会很好
如果路径中的边权重为 5、5、4 会怎样？成本是 4 还是 5？另外，如果路径中只有一条边怎么办？
很抱歉没有报告尝试。我添加了一些信息。 @genisage 成本分别为 5 和 0。

标签： algorithm graph-algorithm shortest-path

【解决方案1】：

对于足够密集的图，我们可以得到 O(E + V log V)，即 o(E log E)。使用带有斐波那契堆的 Dijkstra，计算两个最大权重（与第二个最大权重相反）的最短路径树，一个从根 u 指向叶，一个指向根 v。对于每个边 s->t，考虑由从 u 到 s 的最大权重最短路径、边 s->t 和从 t 到 v 的最大权重最短路径组成的路径，其第二个最大权重以 u-> 的最大值为界s 和 t->v 段。

【讨论】：

Dijkstra 我猜你的意思是 Prim？
@tmyklebu 我想，但在有向图上运行 Prim 的想法似乎比具有不同松弛公式的 Dijkstra 更不和谐。
我猜。不过，除此之外，我真的看不出两者之间有什么区别。
@DavidEisenstat 我认为您的回答是一种更合适的方法，因为它不涉及 bserach，但是我无法找出正确的放松公式来获得最大重量 SP（也是最大权重 SP 树对我来说不是 100% 清楚）。
@lucach 在一句话中，Dijkstra 的算法通过将顶点存储在优先级队列中来工作，其中顶点的键是最便宜的已知路径的成本。在计算节点的新成本时，我们所要做的就是用 max(length(path), length(edge)) 替换 length(path) + length(edge)，就像 Prim 的算法一样。（说 Prim 让我很困扰，因为有更快的 MST 算法，但它们在有向图中不起作用。）

【解决方案2】：

考虑二进制搜索以获得最佳成本。对所有边的权值进行排序，寻找满足条件的最小值X：

There is a u -> v path which has at most one edge with weight greater than X.

如何检查条件？对于给定的X：

从u 运行DFS，并使用权重边缘最多X 找到从u 可到达的顶点集合U。如果v 在U 中，则满足条件。
否则根据集合V 与来自v 的DFS 查找。
当且仅当存在一条边，其中一个顶点在U 中，另一个在V 中，条件才成立。

时间复杂度：O(E log E).

【讨论】：

【解决方案3】：

您可以对答案进行二分搜索（按边的权重对边进行排序）。
对于一个固定的答案 c，我们称权重 > c 的边重，其他边轻。
因此，您只需要检查是否存在最多 1 个重边的路径。您可以通过将 0 成本分配给轻边缘并将 1 成本分配给重边缘并运行 0-1 bfs 来实现。如果距离

【讨论】：

它不适用于如下图表：1 -> 2 成本 8 2 -> 3 成本 1 3 -> 4 成本 2 4 -> 5 成本 7 3 - > 5 成本 9。您的想法会导致 2 作为答案，但正确的输出是 7。
@lucach 你是对的。我已经编辑了我的答案。现在看来是正确的。