带扭曲算法的 BFS 最短路径

Question

令 G=(V,E) 为有向图。设 V 中的 s 为顶点。设 V 中的 k 是某个顶点，使得 k≠s。给定一条路径 p，将其成本定义为 p 中的边数。但是，如果路径经过顶点 k，则在访问过顶点 k 之后使用的每条边都计为 5。

对于 V 中的每个 v，用 c(s,v) 表示从 s 到 v 的最便宜路径的成本。建议一个有效的 用于计算 V 中的每个 v 的值 c(s,v) 的算法。

我也不能使用 Dijkstra 算法。

我最初的想法是使用单源最短路径算法。

这是我的尝试：

算法：

1. 使用 BFS 计算从 s 到 v 的所有路径（未加权），并将路径存储在一个列表中。
2. 遍历列表中的每个路径，如果 k 在路径中，则计算 k 之后的节点数（将其分配给变量 num），并将 4*num 添加到步骤 1 中已计算的总和。
3. 选择结果数最小的路径，然后返回。

我认为我可以做得比这更好，因为在最坏的情况下，我们将有 |V|/2 条路径，所以时间复杂度可以是 O(n^2)。

我想听听一些改进任务的建议。

非常感谢！

Answer 1

只有两种类型的路径——通过 k 的和不通过的：

1. s --> ... --> v
2. s --> ... --> k --> ... --> v

现在要找到第一类路径，我们可以简单地从节点 s 执行 BFS，但有特殊条件 - 如果碰巧到达节点 k，我们将无法去任何地方

对于其他路径，我们可以将它们分成两部分，s --> ... --> k 和 k --> v，注意第一部分已经被第一个 BFS 知道。现在我们可以再次执行 BFS，这次是从节点 k。

现在任何v 的最短路径s --> v 只是min(type1PathCost[v], type1PathCost[k] + type2PathCost[v] * 5)