一个图要成为双向连接的最少边数是多少？答案

【问题标题】：What's the minimum number of edges a graph needs to have for it to become biconnected?一个图要成为双向连接的最少边数是多少？
【发布时间】：2014-08-25 13:02:12
【问题描述】：

假设我们可以构造一个具有 N 个顶点的图，那么该图需要具有的最小边数是多少才能使其没有关节点？换句话说，它需要双连接。

一个完整的图显然没有任何连接点，但我们仍然可以删除它的一些边，它可能仍然没有任何连接点。因此，它的边数似乎比完整图少。对于 N 个顶点，我们可以通过多种方式构建图。所以这个最小数量应该满足这些图表中的任何一个。

澄清标题让用户感到困惑 - 什么是最小的 m（作为 n 的函数），使得每个具有至少 m 个边的 n 顶点图都必须是双连通的？

【问题讨论】：

您的问题要么微不足道，要么不清楚。请详细说明。

标签： algorithm graph graph-theory

【解决方案1】：

在未加权的情况下，找到最少数量的边来添加以使图 2 连通（如果这是问题的话）是多项式时间内可解决的；在 Eswaran&Tarjan 中有一个算法：Augmentation Problems，其中还给出了一些一般界限。

【讨论】：

【解决方案2】：

编辑：我将您的问题解释为：“保证图是双向连接的最小边数是多少？” IE。什么是最小的 m（作为 n 的函数）使得每个具有至少 m 个边的 n 顶点图都必须是双连通的？从您的问题的主体中，这个含义似乎很清楚，但是您的标题暗示了一个不同的问题，即“可以在 n 个顶点上构建双连通图的最小边数是多少？” （这个问题有一个简单的答案：它是一个单一的 n 边循环。这是紧密的，因为每个具有 n-1 或更少边的 n 顶点图都是一个森林，并且没有森林是双连通的。）

编辑：修正了下面的错误声明，感谢评论者 user1990169

嗯，这是一个简单的下限：3 个或更多顶点的连通分量中的叶子始终是关节点的邻居，因此，如果您在 n-1 个顶点（具有 (n-1 )(n-2)/2 个边）并添加一个叶子（顶点加上该顶点的边），您将得到一个非双连通图。所以 f(n) >= (n-1)(n-2)/2 + 2。

编辑：上限直接取自 David Eisenstat 的评论

相应上界的证明是，给定一个具有关节顶点的图，它的删除将 a 个顶点与 b 个顶点断开连接，其中 a + b = n - 1 且 a ≥ 1 且 b ≥ 1。这个新图中的边数最多为 a (a - 1)/2 + b (b - 1)/2，所以原来的总数最多为a (a - 1)/2 + b (b - 1)/2 + a + b ≤ (n - 1) (n - 2)/2 + 1 通过优化单变量函数。

【讨论】：

（我不是反对者）...但是一片叶子怎么能成为一个关节点呢？我遵循这里给出的定义。 geeksforgeeks.org/…
@user1990169 与叶子相邻的顶点是一个关节点，假设有 n >= 3 个顶点。
@user1990169：你说的很对，那是个错误！现已修复。
相应上界的证明是，给定一个具有关节顶点的图，它的删除将 a 个顶点与 b 个顶点断开，其中a + b = n - 1 且 a ≥ 1 且 b ≥ 1 . 这个新图中的边数最多为 a (a - 1)/2 + b (b i> - 1)/2，所以原来的总数最多为a (a - 1)/2 + b ( b - 1)/2 + a + b ≤ (n - 1) (n - 2)/2 + 2 通过优化单变量函数。
@DavidEisenstat：谢谢！我已将此添加到帖子中。