有n个节点的有向图中的最大边数是多少？ [关闭]答案

【问题标题】：What is the maximum number of edges in a directed graph with n nodes? [closed]有n个节点的有向图中的最大边数是多少？ [关闭]
【发布时间】：2011-06-30 19:31:18
【问题描述】：

有n个节点的有向图中的最大边数是多少？有上限吗？

【问题讨论】：

@LiorKogan “算法”部分呢？
抱歉，我没有看到任何“算法”部分。只是一个组合问题
我投票结束这个问题，因为它与编程无关。
我投票结束这个问题，因为它不是一个专门的编程问题。

标签： math graph max

【解决方案1】：

除了 Chris Smith 提供的直观解释之外，我们还可以从不同的角度考虑为什么会出现这种情况：考虑无向图。

要了解为什么在 DIRECTED 图中答案是 n*(n-1)，请考虑一个无向图（这意味着如果两个节点（A 和 B）之间存在链接，那么您可以转到两种方式：从 A 到 B 和从 B 到 A）。无向图中的最大边数为n(n-1)/2，显然在有向图中有两倍。

很好，您可能会问，但是为什么在无向图中最多有n(n-1)/2 边？为此，考虑 n 个点（节点）并询问从第一个点可以形成多少条边。显然，n-1 边缘。现在，假设您连接了第一个点，可以从第二个点绘制多少条边？由于第一个点和第二个点已经连接，因此可以完成n-2 边。等等。所以所有边的总和是：

Sum = (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+3+2+1

由于 Sum 中有 (n-1) 项，并且此类序列中 Sum 的平均值为 ((n-1)+0)/2 {(last + first)/2}, Sum = n(n-1)/2

【讨论】：

【解决方案2】：

在带有自循环的图中

max edges= n*n

比如我们有4个节点（顶点）

4 nodes = 16 edges= 4*4

【讨论】：

【解决方案3】：

有向图：

问题：有n个顶点的有向图中的最大边数是多少？

假设没有自环。
假设从给定的起始顶点到给定的结束顶点最多有一条边。

每条边由它的起始顶点和结束顶点指定。有 n 个起始顶点的选择。因为没有自环，所以有结束顶点的 n-1 个选择。将这些相乘即可可能的选择。

回答：n(n−1)

无向图

问题：n个顶点的无向图中的最大边数是多少？

假设没有自环。
假设从给定的起始顶点到给定的结束顶点最多有一条边。

在无向图中，每条边由它的两个端点指定顺序无关紧要。因此，边的数量是数量从顶点集合中选择的大小为 2 的子集。由于该集顶点的大小为 n，此类子集的数量由二项式系数 C(n,2)（也称为“n 选择 2”）。使用二项式系数的公式，C(n,2) = n(n-1)/2。

回答：(n*(n-1))/2

【讨论】：

【解决方案4】：

换一种说法：

完整图是一个无向图，其中每对不同的顶点都有一条连接它们的唯一边。从某种意义上说，这很直观，您基本上是从 n 个顶点的集合中选择 2 个顶点。

nC2 = n!/(n-2)!*2! = n(n-1)/2

这是无向图可以拥有的最大边数。现在，对于有向图，每条边都转换为两条有向边。所以只需将前面的结果乘以 2。这会给你结果：n(n-1)

【讨论】：

【解决方案5】：

在有 N 个顶点的有向图中，每个顶点可以连接到图中的 N-1 个其他顶点（假设没有自环）。因此，边的总数可以是N(N-1)。

【讨论】：

此答案不会提供其他答案中尚不存在的任何内容。此外，/2 用于无向图。

【解决方案6】：

无向是 N^2。简单 - 每个节点都有 N 个边选项（包括他自己），总共有 N 个节点，因此 N*N

【讨论】：

N^2 包括方向的重复，因此您计算的比实际边缘更多。 {1,2} 与无向中的 {2,1} 相同。在一个无向图它的n(n-1)/2.

【解决方案7】：

在无向图中（不包括多重图），答案是 n*(n-1)/2。在有向图中，两个节点之间可能在两个方向上都出现一条边，那么答案是 n*(n-1)。

【讨论】：

【解决方案8】：

如果不允许多边，则图中可以有多达n(n-1)/2 条边。

如果我们将顶点标记为1,2,...,n 并且从i 到j iff i>j 存在一条边，这是可以实现的。

见here。

【讨论】：

【解决方案9】：

也可以认为是选择节点对 n 的方式数选择 2 = n(n-1)/2。如果只有任何一对只能有一条边，则为真。否则乘以 2

【讨论】：

【解决方案10】：

正确答案是 n*(n-1)/2。每条边都被计算了两次，因此除以 2。完整的图有最大边数，由 n 选择 2 = n*(n-1)/2 给出。

【讨论】：

仅当您在图表中禁止有向循环时才适用。
这仅适用于无向图
N*(N-1)/2 仅适用于无向图，因为每个节点的边数从 (n-1),(n-2),(n-3) 逐渐减少， ....,1 （所有的总和为 n(n-1)/2。但是，对于有向图，您应该考虑每个顶点的外字边，因此是 n(n-1)。

【解决方案11】：

如果图不是多重图，那么它显然是 n * (n - 1)，因为每个节点最多可以有到每个其他节点的边。如果这是一个多重图，则没有最大限制。

【讨论】：

【解决方案12】：

如果您有N 节点，则有N - 1 有向边无法从它引出（到达每个其他节点）。因此，最大边数为N * (N - 1)。

【讨论】：

正确。如果允许边从节点到自身，则最大值为N^2。
@M.A 如果您谈论的是无向图，那么您是正确的。然而，在有向图中，边 (A,B) 与边 (B,A) 不同
N*(N-1) 是有向图中的边数。无向图中的边数为 (N * (N-1)) / 2
即假设图是有向的
与@ypercube 思路相同，答案是正确的，但不考虑有向图中的自环。