中介中心性 Brandes 算法

Question

我正在阅读基于Brandes algorithm 的介数中心性。我对算法有一些疑问

1. 此算法是否给出了精确的中介中心性或近似值？当我运行BC on Sage, which is based on Brandes algorithm 时，它没有给出确切的值。例如，我得到的不是 14，而是 13.9956......

2. 有人能用更简单的术语解释“对依赖的累积”部分吗？

3. 当“我们需要存储每个顶点的依赖项和前驱列表”时要做什么。执行Dijkstra算法时是否这样做？

4. 加权图要做什么？

Answer 1

1. Brandes 算法给出了每个顶点的准确中心性。我不知道 Sage 中使用了哪种算法实现，但很可能是精度问题。

2. 算法的累加部分可能是最棘手的。当您到达该部分时，您在 sigma 中拥有从当前顶点 s 到其余顶点的最短路径的数量。此外，在 Pred 中，对于每个顶点，您都有通过最短路径到达它们的顶点列表。依赖性 delta 将是 s 对其余顶点（范围从 0 到 N-2）的介数量，即，多少取决于每个顶点的s。

   一个顶点w从S弹出直到为空，从离s最远的一个开始，到s结束em> 本身（请记住，当在算法的最短路径计数部分达到顶点时，会将顶点添加到 S）。对于 w (Pred[w]) 的前辈列表中的每个 v，计算依赖关系，这（对我来说）是棘手的部分。

   表达式是 delta[v] = delta[v] + (sigma[v]/sigma[w]) * (1 + delta[w ])，或者换句话说，v 的新依赖是它已经拥有的依赖加上 (sigma[v ]/sigma[w]) * (1 + delta[w])。嗯，首先，注意当一个顶点w从S中弹出时，它的整个依赖delta[w] 已经计算过了，因为不会有比 w 更远的未来节点，所以它不能在任何其他最短路径的中间。那么，应该清楚 (sigma[v]/sigma[w]) 是v的对(s,w)，即顶点s和w of v 保持连接（因为它是从 s 到 w 的最短路径经过 的比例v）。但是（我认为这是不太明显的部分），顶点 v 不仅在 s 和 w 之间的最短路径中，它也在所有涉及 w 的最短路径中！所以，如果有一条从s到某个顶点x经过w的最短路径，那么一定有一条从s 到 x 通过 v。简单来说，如果s对w的依赖很大，那么s会更多的依赖v。所以，因子(1 + delta[w])解释如下： 1、对于v对的依赖(s, w) 和 delta[w] 为 v 的依赖每对（s，w> 之外的任何顶点）。

   最后，delta[w] 被添加到它的全介数Cb[w]（除非w == s，因为 s 不被认为是独立的）。

   正如我所说，乍一看，这不是一个容易理解的算法。慢慢来，如果您仍有疑问，请发表评论。

3. 我不完全确定您在这里指的是什么。如果您要问如何从 Dijkstra 算法的输出中获取前辈列表，那么您不能，至少不能直接。如果您想使用预先存在的 Dijkstra 算法来实现此算法，除非该算法在其执行期间允许某种访问者，例如 Boost Graph 库 Dijkstra 实现，否则您将无法实现。顺便说一句，这个库已经实现了这个算法（see here），甚至是分布式/并行版本（here 和here），如果你对此感兴趣的话。

4. （至少）有两种方法可以在介数计算中考虑权重（我假设您的意思是边权重）：作为“长度”，因此它对最短路径计算有影响，以及作为“重要性”或“多重性”（例如关系出现的次数）。 Brandes 本人在他的论文On Variants of Shortest-Path Betweenness Centrality and their Generic Computation 中为这些和其他情况提供了几种变体，算法 10（用于“长度”）和 11（用于“多重性”）。注意本文算法11有错误，在Brandes' publications page中解释（在列表中查找论文名称）。