这些功能的复杂性和解释是什么？

Question

我想知道如何使用 T(n) .. 和类似的东西来查找这些函数的复杂性 .. 因为我只能猜测。
第一个函数：

int f(int n)
{ 
 if (n == 1)
      return 1 ;
  return 1 + f(f(n-1));
 }

时空复杂度 ??


第二个功能：

函数 f() 的时空复杂度 ??? ：

void f(int n)
{
  int i ;
  if(n < 2) return ;
   for(i = 0 ; i < n/2 , i+= 5)
       printf("*");
   g(n/3);
   g(n/3);
 }


void g(int n)
   {
      int i ;
      for(i = 0 ; i < n ; i++)
         printf("?") ;
      f(3*n/2);
   }

非常感谢 :)

Answer 1

这可能会让您感到惊讶，但第二个更容易开始。 O_o ikr

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第二个功能：

g(n) = n + f(3n/2)，f(n) = n/10 + 2g(n/3)。因此f(n) = 21n/10 + 2f(n/2)。

替换n = 2^m，因此f(2^m) = 21(2^m)/10 + 2f(2^(m-1)) = 2*21(2^m)/10 + 4f(2^(m-2)) 等等...

第一项总和为m*21(2^m)/10，这对您来说可能很明显。

第二项（使用 f()）呈几何增长；现在f(1) = 1（因为只有1个操作），所以如果你扩大到最后一个词，你会发现这个词是2^m * f(1) = 2^m。因此f 的总复杂度为f(2^m) = m*21(2^m)/10 + 2^m 或f(n) = n(2.1*log(n) + 1)，其中log 是以2 为底的对数。

因此f(n) 是O(n log(n))。

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第一个函数：

好吧，老实说，我不知道如何开始，但我用 C++ 测试了代码，结果正是f(n) = n。

归纳证明：

• 假设f(n) = n，然后f(n + 1) = 1 + f(f(n)) = n + 1。因此，如果 n 为真，则 n + 1 也为真
• 现在f(1) = 1 显然。因此，对于 2，以及对于 3、4、5 ... 等等都是如此。

因此通过数学归纳，f(n) = n。

现在是时间复杂度位。由于f(n) 返回n，嵌套f(f(n-1)) 中的外部调用实际上将是第二次调用，因为参数相同：f(n-1); f(n-1);。因此T(n) = 2*T(n-1)，因此T(n) = 2^n。 O(2^n)。